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Ignacio CrespoFrancis VillatoroBorja TosarHéctor SocasGastón GiribetJosé Edelsteinmovimiento browniano partículas polenpartícula polen choques moléculas aguabaño térmico sistema macroscópico propiedadestermodinámica estadística sistemas microscópicostermodinámica estocástica física estadísticatemperatura entropía átomo individualtrayectoria átomo interacción baño térmicofrancis villatoro termodinámica estocásticatermodinámica siglo xix fenomenológicacalor partícula trayectoria aleatoriacalor gas sistema macroscópicoFrancis Villatorosiglo XXIHéctor SocasAlbert Einsteinsiglo XXNature PhysicsSegunda Guerra Mundialsistemas MarkovianosNaturesiglo XIXdécada de 1990Diablo de MaxwellTrabajoEntropíaTermodinámicaSistemas estocásticosExoplanetaEirenesferaNeandertales
Termodinámica estocástica sistemas microscópicos
Ep576: Entropía; Neandertales; Tesla; Exoplaneta; Agujeros Negros; Eirenesfera
22 de octubre de 202610 momentos
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Francis Villatoro plantea una pregunta sobre la posibilidad de extender los principios de la termodinámica estadística a sistemas microscópicos que se mueven en trayectorias similares al movimiento browniano.
…se te ponen una escala de tiempo muy muy corta y así ves trayectorias continuas y diferenciables entre puntos de colisiones en los que la trayectoria deja de ser continua y diferenciable. Entonces, ¿podemos extender las ideas básicas y los conceptos básicos? ¿De la termodinámica estadística a los sistemas que se mueven, microscópicos, que se mueven en una trayectoria de tipo browniana, de tipo proceso estocástico, de tipo caminolatorio? Esa pregunta se plantea ya a principios del siglo XX y se plantea desde el punto de vista de: ¿por qué esa partícula broniana se mueve de manera irregular? ¿Por qué esa pequeña polen, pequeña partícula de polen en el agua se mueve de manera irregular por culpa de los choques de las moléculas de agua contra esa partícula de polen? Porque ahí la partícula está en un baño térmico, hay un entorno, está rodeada de un sistema que sí es macroscópico y sí me permite definir estas propiedades, calor, trabajo, etc. Entonces el baño térmico es el responsable del movimiento irregular de esta partícula pero además me permite extender esos conceptos. Al comportamiento de la partícula y así nació una rama de la termodinámica, de la física estadística, de la termodinámica que se llama la termodinámica estocástica. La termodinámica estocástica pretende usar conceptos como temperatura, calor, entropía, energía libre, trabajo, pero aplicado a una trayectoria. Es decir, a un átomo le aplicamos el concepto de calor, pero en realidad lo que estamos es aplicando un concepto equivalente al calor a la trayectoria que sigue ese átomo cuando está interaccionando con un baño térmico. Entonces, esto a principios del siglo XX era como la Termodinámica a principios del siglo XIX. Todo esto eran palabras, maneras fenomenológicas de entender resultados observacionales, pero no había una base realmente matemática, rigurosa, que nos explicara cómo extender estos conceptos. Porque ya os digo, el calor aplicado a una partícula que sigue una trayectoria más o menos aleatoria, un camino aleatorio, pues realmente es una cosa muy diferente al calor en un gas o en un fluido o en un sistema macroscópico. Entonces, a mitad del siglo XX, sobre todo después de la Segunda Guerra Mundial, empieza a replantearse el tema de revisar lo que ha comentado Héctor: el demonio de Maxwell. El hecho de que haya un sistema microscópico con una capacidad de interaccionar con…
Significado #1 · Palabras #5
Héctor Socas introduce los temas que se tratarán en el episodio actual de Coffee Break: Señal y Ruido, incluyendo la entropía, modelos de habitabilidad planetaria y nuevas investigaciones sobre los Neandertales.
Habla: Héctor SocasPalabras #19entropía sistemas estocásticostemperaturas exoplaneta tránsitoshabitabilidad planetaria eirenesferaneandertales ante la muerte…en ondas de radio y en paquetes IP, hay una tertulia que cada semana debate sobre la actualidad de la ciencia y ahí han caído ustedes. Bienvenidas, bienvenidos a Coffee Break, Señal y Ruido, la tertulia de cada semana sobre la actualidad de la ciencia. Hoy hablaremos de entropía, nuevas formas de entender la termodinámica de sistemas estocásticos y de cómo se mapean las temperaturas de un exoplaneta a partir de sus tránsitos. De la Eirenesfera, un modelo para ampliar la definición de la habitabilidad planetaria y de Neandertales ante la muerte, nuevas pistas sobre si enterraban deliberadamente a sus difuntos y sí, a lo mejor un poquito de coches voladores también. Pero bueno, ya saben que tenemos una página web que es señalirruido .com y que ahí pueden encontrar toda la información sobre este programa. Ahí están todas las referencias, los papers que comentamos cada semana. También toda la información para contactar con nosotros,…
Francis Villatoro propone comenzar a explicar la historia de la termodinámica estadística, contextualizándola en el siglo XIX, época marcada por el desarrollo de motores térmicos.
Habla: Francis VillatoroSignificado #17siglo xix siglo de los motorestermodinámica estudio funcionamiento motoresconceptos termodinámica introducidos intuitivamente…son leyes fundamentales sino que son leyes estadísticas y que si uno puede manipular la estadística, pues puedes violar las leyes de la termodinámica; pero en función a eso se han desarrollado cosas súper chulas. Me gustaría que nos las contaras. Sí, bueno. Si queréis, empezamos un poquito por la historia de la termodinámica estadística. Que, como sabéis, el siglo XIX fue el siglo de los motores, fundamentalmente motores térmicos, y al principio del siglo XX se creó la termodinámica, que era la rama de la física que estudiaba el funcionamiento de los motores y, en general, de los sistemas macroscópicos, e introducía una serie de conceptos que se introducían de manera intuitiva, conceptos como calor. Como entropía, trabajo útil, energía libre, entalpía, etcétera, etcétera, temperaturas. Eran conceptos intuitivos y se introducía una serie de leyes obtenidas fenomenológicamente a partir de experimentos para describir esos objetos. Fue ya a finales del siglo…
Francis Villatoro explica que los conceptos termodinámicos como temperatura, entropía, trabajo y energía libre solo son aplicables a sistemas macroscópicos.
Habla: Francis VillatoroSignificado #3 · Palabras #12mecánica newtoniana versus termodinámicatemperatura entropía termodinámica estadísticasistema macroscópico termodinámica estadísticatemperatura átomo concepto termodinámicoentropía átomo sistemas microscópicostermodinámica estadística sistemas macroscópicosalbert einstein estudio sistemas microscópicos…átomos, moléculas, etc., en interacción, pues su mecánica newtoniana elemental en procesos de choque, de transferencia de energía cinética y bajo una energía potencial nos permitía describir estas magnitudes y dar una definición rigurosa a estas magnitudes. Esto fue muy polémico y fue necesario la llegada de principios del siglo XX para que se estabilizara y se entendiera. Parecía una locura que la mecánica newtoniana pudiera explicar la termodinámica; parecían cosas completamente diferentes. Hoy en día lo explicamos y parece una cosa súper elemental, pero lo que hay que tener muy claro es que temperatura, entropía, trabajo, energía libre solo son aplicables en termodinámica estadística a sistemas macroscópicos. Necesito un sistema con una enorme cantidad de partículas. Yo no puedo hablar de la temperatura de un átomo o de una molécula. No puedo hablar del calor transferido a un átomo o de la entropía de un átomo, y alguien me dirá pero si el átomo está formado de cosas puedo conseguir; pero en principio no es aplicable los conceptos termodinámicos en termodinámica estadística a este tipo de sistemas microscópicos. La termodinámica es para sistemas macroscópicos, y en la realidad tenemos tres tipos de sistemas: los micro, los meso y los macroscópicos. Entonces ya a principios del siglo XX nos encontramos con el gran genio del principio del siglo XX que es Albert Einstein y que estudia el Movimiento browniano, que es el movimiento de una partícula y es un movimiento extremadamente irregular, es un camino aleatorio; es un proceso estocástico. No es una trayectoria suave, diferenciable y maravillosa como la que concebía Newton o como la que se…
Francis Villatoro plantea una pregunta sobre la posibilidad de extender los principios de la termodinámica estadística a sistemas microscópicos que se mueven en trayectorias similares al movimiento browniano.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #5movimiento browniano partículas polenpartícula polen choques moléculas aguabaño térmico sistema macroscópico propiedadestermodinámica estadística sistemas microscópicostermodinámica estocástica física estadísticatemperatura entropía átomo individualtrayectoria átomo interacción baño térmicofrancis villatoro termodinámica estocásticatermodinámica siglo xix fenomenológicacalor partícula trayectoria aleatoriacalor gas sistema macroscópico…se te ponen una escala de tiempo muy muy corta y así ves trayectorias continuas y diferenciables entre puntos de colisiones en los que la trayectoria deja de ser continua y diferenciable. Entonces, ¿podemos extender las ideas básicas y los conceptos básicos? ¿De la termodinámica estadística a los sistemas que se mueven, microscópicos, que se mueven en una trayectoria de tipo browniana, de tipo proceso estocástico, de tipo caminolatorio? Esa pregunta se plantea ya a principios del siglo XX y se plantea desde el punto de vista de: ¿por qué esa partícula broniana se mueve de manera irregular? ¿Por qué esa pequeña polen, pequeña partícula de polen en el agua se mueve de manera irregular por culpa de los choques de las moléculas de agua contra esa partícula de polen? Porque ahí la partícula está en un baño térmico, hay un entorno, está rodeada de un sistema que sí es macroscópico y sí me permite definir estas propiedades, calor, trabajo, etc. Entonces el baño térmico es el responsable del movimiento irregular de esta partícula pero además me permite extender esos conceptos. Al comportamiento de la partícula y así nació una rama de la termodinámica, de la física estadística, de la termodinámica que se llama la termodinámica estocástica. La termodinámica estocástica pretende usar conceptos como temperatura, calor, entropía, energía libre, trabajo, pero aplicado a una trayectoria. Es decir, a un átomo le aplicamos el concepto de calor, pero en realidad lo que estamos es aplicando un concepto equivalente al calor a la trayectoria que sigue ese átomo cuando está interaccionando con un baño térmico. Entonces, esto a principios del siglo XX era como la Termodinámica a principios del siglo XIX. Todo esto eran palabras, maneras fenomenológicas de entender resultados observacionales, pero no había una base realmente matemática, rigurosa, que nos explicara cómo extender estos conceptos. Porque ya os digo, el calor aplicado a una partícula que sigue una trayectoria más o menos aleatoria, un camino aleatorio, pues realmente es una cosa muy diferente al calor en un gas o en un fluido o en un sistema macroscópico. Entonces, a mitad del siglo XX, sobre todo después de la Segunda Guerra Mundial, empieza a replantearse el tema de revisar lo que ha comentado Héctor: el demonio de Maxwell. El hecho de que haya un sistema microscópico con una capacidad de interaccionar con…
Francis Villatoro, junto con Héctor Socas, explica cómo el 'demonio de Maxwell' utiliza información microscópica para influir en sistemas macroscópicos y generar cambios.
Habla: Francis VillatoroSignificado #12 · Palabras #2termodinámica de la información siglo xxsistemas microscópicos baño térmicotransferencia información sistema microscópicopropiedades macro sistema micro villatorotermodinámica información competencia estocásticamolécula rápida deja pasar diablillo…Newton del siglo XX, a mediados de los 40 y ya nos da una definición rigurosa asociada a las distribuciones de probabilidad y básicamente nos permite hablar de manera rigurosa de información y así es como a mediados de la Segunda Guerra Mundial, a mediados. Del siglo XX, surge la termodinámica de la información. Una termodinámica en la que yo pretendo aplicar las palabras que yo uso en termodinámica a sistemas microscópicos acoplados a un baño térmico bajo la idea de que hay una transferencia de información que el sistema microscópico puede de alguna manera tener acceso a información microscópica que estas propiedades no me dan y gracias a ello yo puedo definir propiedades macro a ese sistema micro y entonces aparecen cosas. Sería lo que está haciendo el diablillo esencialmente, al ver una molécula rápida la deja pasar Está utilizando la información que puede medir de esa molécula, una información que puede medir microscópicamente para tener una influencia macroscópica y generar algo en el sistema macroscópico Exactamente, entonces eso hizo que naciera ese campo de la termodinámica de la información que en cierto momento competía con la termodinámica estocástica que se había definido de manera cualitativa a principios del siglo XX Entonces ahí el gran trabajo que realmente motorizó todo esto fue el trabajo De Landauer, de Roth Landauer en 1961, que nos dijo algo extraordinariamente fascinante y es que borrar información tiene un coste termodinámico: hay que disipar una cantidad de calor mínima. Es decir, un ordenador, solo un ordenador clásico que maneje…
Francis Villatoro explica cómo se puede construir un lenguaje matemático para describir sistemas microscópicos interactuando entre sí, utilizando conceptos análogos a la termodinámica.
Habla: Francis VillatoroSignificado #2 · Palabras #1modelos termodinámicos procesos celularescalor entropía trabajo útil moléculasvariables ocultas experimentador transferencias energíadisipación molecular información villatorotermodinámica de la información siglo xixmovimiento browniano termodinámica estocásticadefiniciones matemáticas calor termodinámicaformulación equivalente al trabajo contextocalor en sistemas microscópicos villatorotrayectorias objetos microscópicos baño térmicoleyes termodinámica sistemas macroscópicostermodinámica estocástica sistemas microscópicosteoría micro avances años noventasistemas meso transferencia conceptoscalor estocástico átomo gas átomos…los detalles. Sin embargo, yo puedo utilizar una formulación estadística, física, matemáticamente rigurosa para entender ciertos procesos que ocurren en las células, por ejemplo, gracias a asociar información a los procesos desconocidos que ocurren. es decir, hay unas variables ocultas a las que no tiene acceso el experimentador pero que sabe que existen que hacen que haya transferencias de energía por ejemplo grupos químicos etcétera entre moléculas pero que como yo no sé realmente qué moléculas están implicadas ni qué grupos son yo hago un tratamiento termodinámico de la información y utilizo ideas como calor, entropía, disipación, Trabajo útil, etc. En un contexto puramente muy complicado en el que yo No conozco los detalles. Ignorando los detalles, yo puedo usar eso. Eso es lo que se hacía a principios del siglo XIX con la termodinámica, y todo esto se ha ido ya en la década de los 90, ya definiendo de maneras bastante rigurosas. Y tenemos definiciones matemáticas de lo que es el calor en termodinámica de la información, que hoy en día ya la entendemos como que en realidad la termodinámica de la información es lo mismo que la termodinámica estocástica de principios del siglo XIX; eso del movimiento browniano básicamente es lo mismo, y tenemos una formulación para el equivalente al calor o al trabajo en este contexto. Y lo que me gustaría dejar claro a los oyentes es algo que se Omite completamente en toda la divulgación y es que cuando yo hablo de calor en este tipo de sistemas, no es el calor en un sistema macroscópico; es un concepto que está definido de una manera diferente. La definición es completamente distinta y aplicable específicamente a trayectorias de objetos microscópicos acoplados a un baño térmico, donde sí en ese baño térmico tengo una buena definición de calor, pero lo que yo hago es definir un concepto de calor aplicable a estas trayectorias que cumple más o menos con las leyes de la termodinámica de los sistemas macroscópicos. Es decir, yo puedo construir todo un lenguaje matemático, físico, estadístico, del comportamiento de sistemas microscópicos que interaccionan entre sí, utilizando conceptos análogos a los conceptos que se utilizan en la termodinámica, pero que son diferentes. Son diferentes y son adaptados, de hecho, en la termodinámica estocástica. El gran problema que tenemos es que tenemos una muy buena teoría de lo micro gracias a los avances de los años 90 y principios del siglo XXI y una buena teoría de los sistemas macro, pero nos falta la buena teoría de los sistemas meso. No sabemos hacer una buena transferencia de esos conceptos; no tenemos un mecanismo que nos transforme el calor estocástico asociado a un átomo en el calor asociado a un gas de átomos, y eso es uno de. los grandes problemas abiertos que tendrá que resolverse en este siglo pero todavía se está trabajando en ello y se están haciendo muchos experimentos en mesoescala para intentar clarificar realmente cómo se pueden extender estos conceptos y hay alguna que…
Francis Villatoro enfatiza la importancia de diferenciar las definiciones de los conceptos microscópicos y macroscópicos cuando se divulgan temas relacionados con la termodinámica.
Habla: Francis VillatoroPalabras #9información genera trabajo termodinámica estocásticatrabajo estocástico calor estocástico temperatura estocásticaterminología científica precisa francis villatorodefiniciones conceptos microscópicos macroscópicostrayectoria sistema microscópicodivulgación termodinámica francis villatorocalor estocástico no es trabajodiablo maxwell genera trabajo útilpistón en termodinámica ejemplo trabajodiferencia temperatura aprovecha motortrabajo útil sistema macroscópicointeracciones roban entalpía al sistemasistema macroscópico asociado a palabrascuidado con trabajo sistemas microscópicos…pero todavía se está trabajando en ello y se están haciendo muchos experimentos en mesoescala para intentar clarificar realmente cómo se pueden extender estos conceptos y hay alguna que otra definición de algunos de estos conceptos Entonces cuando hablamos, Por ejemplo, de que la información genera trabajo o trabajo útil, lo que estamos diciendo realmente es: la información en el sentido de la termodinámica estocástica genera trabajo en el sentido de la termodinámica estocástica. O decir trabajo estocástico o calor estocástico o temperatura estocástico; pues cuando tienes un artículo en lo que tienes que decirlo todas las veces que aparece y cada una de esas palabras te aparece muchas veces, pues lo omites. Todo el mundo lo entiende, todo el mundo lo entiende. Y los divulgadores que no se dan cuenta es su problema, el problema de los divulgadores que no saben de qué hablan. Aquí es un punto clave que me gustaría dejar muy claro Cuando se divulga este tipo de temas hay que dejar muy claro que estos conceptos microscópicos asociados a la trayectoria del sistema microscópico son conceptos con una definición diferente al concepto en el sistema marcoscópico Aquí se han estudiado muchos problemas Entonces, perdona, estás diciendo que ese calor estocástico no es lo mismo que, porque claro, perdón, trabajo; estaba pensando en trabajo. Claro, uno piensa en el trabajo como algo que puedo convertir en energía, algo que puede mover un pistón en termodinámica, ¿no? No es lo mismo con este trabajo estocástico, porque si yo pienso en el diablo de Maxwell, sí que puede al separar moléculas calientes y moléculas frías, cuando dejas evolucionar el sistema para que vuelva a su equilibrio, eso puede dar lugar a un trabajo útil. Claro, porque da lugar una diferencia de calor, una transferencia de calor, una diferencia de temperatura y esa diferencia de temperatura la puedo aprovechar en un motor para producir trabajo útil. Claro, pero a eso me refiero, ¿se puede entonces conseguir trabajo en el sentido tradicional de la palabra? Sí, en el sentido tradicional de la palabra es cuando te refieres al sistema macroscópico En el sistema macroscópico sí, es decir, estas interacciones le roban estas propiedades, calor, entalpía, entropía, etc. al sistema macroscópico y entonces modifican el sistema macroscópico y el sistema macroscópico podemos asociar las palabras de toda la vida a ese sistema macroscópico Pero cuando hablamos de trabajo en estos sistemas microscópicos hay que ser muy cuidadosos y Ver exactamente en este experimento exactamente qué se define por trabajo, qué se define por información porque en este experimento concreto eso tiene un contexto muy concreto y ese contexto es lo que a veces se olvida y se simplifica todo. En este…
Francis Villatoro explica cómo la interacción entre una micropartícula y un baño de calor se ve afectada por el efecto memoria del baño, lo que provoca un retraso en la reacción sobre el sistema microscópico.
Habla: Francis VillatoroSignificado #4 · Palabras #7efecto memoria baño de calorreacción sistema microscópico retrasadamaterial deformado tiempo originalsistemas no marcovianos termodinámica estocástica…materiales viscoelásticos. Un material viscoelástico es un material en el que yo presiono y deformo el material y el material recupera su forma, pero lo recupera lentamente. ¿Vale? Hay un tiempo de recuperación, de relajación del material. Todo eso afecta. Es decir, cuando yo tengo la micropartícula interaccionando con el baño de calor, si el baño de calor tiene efecto memoria, es decir, si las acciones sobre el baño de calor están retrasadas, tienen un efecto de retardo, y por lo tanto la reacción, la realimentación sobre el sistema microscópico se retrasa en el tiempo, no es inmediata. Yo deformo un material y echa un tiempo en volver a su forma original y volver a contactar conmigo y por lo tanto el efecto de mi deformación es un efecto que se retrasa en el tiempo. Tengo que trabajar con sistemas no marcovianos y los conceptos matemáticos que se han desarrollado en termodinámica estocástica, que incluyen todo este tipo de conceptos modificados de los que hemos hablado, han sido sobre todo bien definidos matemáticamente para sistemas marcovianos y ahora se está empezando a trabajar con sistemas no marcovianos y ahí es donde se enmarca este artículo que se acaba. De publicar en Nature Physics. Es un artículo que salió en Archive al principio de este año; creo que es un artículo de lo que es Muruga, Félix Guino y Clemens Beckinger de la Universidad de Constanza en Alemania, y de Sarah Laws del Instituto Masplan de…
Francis Villatoro explica cómo asigna valores binarios (1 o 0) a la posición de una partícula atrapada y posteriormente analiza la relación entre esta información y las propiedades termodinámicas estocásticas.
Habla: Francis VillatoroPalabras #17valores binarios partícula atrapadapropiedades termodinámicas estocásticas trayectoriapinza óptica punto de equilibriomedida resultado estado cero uno…corte, si queréis, en energía cinética, velocidad, energía cinética de tal manera de que cuando la bolita está demasiado lejos, tengo un 1 y cuando está demasiado cerca, eso sí, tengo que ser un 0 y un 1. Diréis, el potencial es simétrico, tengo dos valores. Máximos, bueno, vamos a considerar valores positivos ¿vale? Si está en la ultraizquierda tiene un valor 1 y si está en la izquierda, en el centro, en la derecha o en la ultraderecha tiene un 0 ¿vale? Y esto ya tengo información. Entonces ahora lo que yo estudio es cómo esa información se relaciona con las propiedades termodinámicas estocásticas asociadas a la trayectoria de la partícula cuando yo la saco del punto de equilibrio moviendo ligeramente la pinza óptica. Entonces, yo tengo una trayectoria muy irregular y yo, por ejemplo, hago una medida. Si yo mido la partícula, mi resultado es o está en estado cero o está en estado uno. Bueno, pues eso no me da ninguna información. Si está en estado cero, es que está más o menos cerquita, habitualmente, cerquita del centro o alejada hacia la derecha. Y si me da estado uno, es que está muy hacia la izquierda. Ya está, no tengo mayor…
Francis Villatoro explica cómo los experimentos realizados pueden ayudar a diseñar mecanismos útiles para tecnologías cuánticas y destaca que, aunque son clásicos, la termodinámica estocástica también se aplica a sistemas cuánticos abiertos.
Habla: Francis VillatoroSignificado #9 · Palabras #3termodinámica estocástica sistemas no marcovianosresultados experimento publicados natureredefinir termodinámica estocástica villatorotermodinámica estocástica sistemas cuánticosefecto memoria naturaleza physicsaplicaciones potenciales biologíasistema microscópico trabajo estocástico…cuando el tiempo de las dos medidas es menor que el tiempo de relajación, es hasta el máximo que se ha obtenido; es tres veces mayor que si no hay efecto memoria. Entonces, bueno, eso se considera un resultado relevante y se ha publicado en Nature. Physics Pero, ya os digo, ¿esto qué utilidad tiene? Lo importante es que esto nos va a ayudar a redefinir mejor, a moldear toda la matemática de la termodinámica estocástica aplicada a sistemas no marcovianos. Estos experimentos, este y muchos experimentos que vendrán, acabarán dándonos información de cómo definir de nuevo esos conceptos. En el que el sistema no se comporta de manera marcoviana y eso nos va a ayudar a, entre comillas, quizás diseñar mecanismos que sean útiles en tecnologías cuánticas. Todo esto es clásico, todo esto es completamente clásico; aquí no hay nada cuántico. Pero bueno, ahí la termodinámica estocástica también se aplica a sistemas cuánticos abiertos: entonces abierto significa que hay un baño térmico que interacciona con el sistema cuántico y se cree que esto tendrá aplicaciones en biología, pero son aplicaciones potenciales; es decir, ahora mismo el gran interés de este artículo, el por qué este artículo se publica en Nature Physics es porque es un artículo que es el primero que muestra experimentalmente información obtenida de un efecto tipo memoria que genera trabajo, en el sentido estocástico, en un sistema microscópico. Bueno, se nos ha echado el tiempo encima, Francis; yo no sé si tú te tienes que ir ya para tu clase o te queda un ratito más, porque bueno, ahora llega el momento de la pausa. Vamos a tomar un cafecito a la vuelta; yo les invito. Es más, les conmino, amigas,…