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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoJuan Carlos GilJosé EdelsteinFrancis VillatoroHéctor SocasGastón Giribetecuación física problemas mileniocomplejidad matemática ecuación físicasoluciones ecuaciones físicasunicidad existencia solucionesecuaciones einstein nunca resolviósoluciones schwarzschild ecuaciones einsteinresolución ecuaciones diferenciales complejasproblemas particulares soluciones einsteinecuación navier stokes fluidosdinámica de los fluidos gases líquidosviscosidad en fluidos gasesSchwarzschildKerrRobinsonEcuaciones de EinsteinEcuaciones diferencialesGastón GiribetNavier StokesFrancis VillatoroHéctorNavier-StockTierraFeffermanIsaac AsimovMultivacProblemas del MilenioGrigori PerelmanSan PetersburgoProblema C
Resolución Ecuaciones diferenciales complejas
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Gastón Giribet explica que las ecuaciones diferenciales complejas, aunque revelan información valiosa sobre la física, pueden ser extremadamente difíciles de resolver.
…del milenio; uno de ellos está relacionado con la ecuación, que es una ecuación de la física, a pesar de que los problemas del milenio son problemas abiertos en matemática, porque es una ecuación que nace de la física y es muy importante para la física. Ahora Vamos a hablar de qué es, pero por otro lado es un problema que desde el punto de vista matemático es muy complejo, porque la ecuación es muy, aparte de ser importante para la física, es muy muy difícil decirlo. Algo de ellas, entonces algo de sus soluciones, algo acerca de la existencia de sus soluciones, algo acerca de la unicidad de existencia de sus soluciones y algo acerca del buen comportamiento de las soluciones que existen. Es una ecuación diferencial, en física ocurre mucho que uno escribe una ecuación diferencial, pero esa ecuación diferencial al ser no lineal, al ser muy compleja, no quiere decir que sea fácil resolverla. Por ejemplo, conocemos las ecuaciones de Einstein, que Einstein nunca resolvió, por ejemplo, de manera exacta; es decir, la resolvió Schwarzschild, la resolvió Kerr, la resolvió, no sé, Robinson, mucha gente. Pero las ecuaciones las escribió Einstein, pero una cosa es escribir unas ecuaciones. Las ecuaciones dicen mucho sobre la física, pero sus soluciones se aplican a problemas particulares y a veces es muy difícil resolver esas soluciones, o incluso saber si es posible resolver esas soluciones. La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación que gobierna la dinámica de los fluidos. ¿Qué quiere decir esto? De todo fluido; absolutamente todo fluido. Fluido de gases, líquidos. Por supuesto, uno puede pensar en diferentes condiciones. Hay fluidos que tienen, por ejemplo, viscosidad y otros que no tienen viscosidad, o tienen mucha viscosidad o tienen poca viscosidad. Pero la ecuación que gobierna cualquier fluido, los gases o los líquidos, cualquiera, desde el flujo de la sangre hasta cómo se hace un avión, porque el avión no es nada más que algo moviéndose en un fluido, o el agua, todo eso está gobernado por una ecuación diferencial que Se conoce como ecuación de Navier-Stokes. Me veo obligado, Gastón, perdón, es de formación profesional, puede ser muy petardo, pero me veo obligado a hacer una puntualización: cualquier fluido neutro ¿Cómo? Cualquier fluido neutro, sin carga y sin campos…
Significado #1 · Palabras #1
Gastón Giribet explica que las ecuaciones diferenciales complejas, aunque revelan información valiosa sobre la física, pueden ser extremadamente difíciles de resolver.
Habla: Gastón GiribetSignificado #1 · Palabras #1ecuación física problemas mileniocomplejidad matemática ecuación físicasoluciones ecuaciones físicasunicidad existencia solucionesecuaciones einstein nunca resolviósoluciones schwarzschild ecuaciones einsteinresolución ecuaciones diferenciales complejasproblemas particulares soluciones einsteinecuación navier stokes fluidosdinámica de los fluidos gases líquidosviscosidad en fluidos gases…del milenio; uno de ellos está relacionado con la ecuación, que es una ecuación de la física, a pesar de que los problemas del milenio son problemas abiertos en matemática, porque es una ecuación que nace de la física y es muy importante para la física. Ahora Vamos a hablar de qué es, pero por otro lado es un problema que desde el punto de vista matemático es muy complejo, porque la ecuación es muy, aparte de ser importante para la física, es muy muy difícil decirlo. Algo de ellas, entonces algo de sus soluciones, algo acerca de la existencia de sus soluciones, algo acerca de la unicidad de existencia de sus soluciones y algo acerca del buen comportamiento de las soluciones que existen. Es una ecuación diferencial, en física ocurre mucho que uno escribe una ecuación diferencial, pero esa ecuación diferencial al ser no lineal, al ser muy compleja, no quiere decir que sea fácil resolverla. Por ejemplo, conocemos las ecuaciones de Einstein, que Einstein nunca resolvió, por ejemplo, de manera exacta; es decir, la resolvió Schwarzschild, la resolvió Kerr, la resolvió, no sé, Robinson, mucha gente. Pero las ecuaciones las escribió Einstein, pero una cosa es escribir unas ecuaciones. Las ecuaciones dicen mucho sobre la física, pero sus soluciones se aplican a problemas particulares y a veces es muy difícil resolver esas soluciones, o incluso saber si es posible resolver esas soluciones. La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación que gobierna la dinámica de los fluidos. ¿Qué quiere decir esto? De todo fluido; absolutamente todo fluido. Fluido de gases, líquidos. Por supuesto, uno puede pensar en diferentes condiciones. Hay fluidos que tienen, por ejemplo, viscosidad y otros que no tienen viscosidad, o tienen mucha viscosidad o tienen poca viscosidad. Pero la ecuación que gobierna cualquier fluido, los gases o los líquidos, cualquiera, desde el flujo de la sangre hasta cómo se hace un avión, porque el avión no es nada más que algo moviéndose en un fluido, o el agua, todo eso está gobernado por una ecuación diferencial que Se conoce como ecuación de Navier-Stokes. Me veo obligado, Gastón, perdón, es de formación profesional, puede ser muy petardo, pero me veo obligado a hacer una puntualización: cualquier fluido neutro ¿Cómo? Cualquier fluido neutro, sin carga y sin campos…
Gastón Giribet explica cómo se aborda la resolución de la ecuación de Navier-Stokes, mencionando diversas estrategias para simplificar el problema cuando una solución directa es inalcanzable.
Habla: Gastón GiribetSignificado #2 · Palabras #9ecuación navier stokes simplificaciónfluido casi bidimensionalcálculos perturbativos viscosidad pequeñaaproximaciones solución ecuación navier stokesteoría del campo gravitacional más complejanavier stokes no es fundamental física…muchísimo tiempo. Son preprints que parecen serios, que parecen bien hechos, un poco apresurados pero bien hechos, pero igual todo lo que vamos a decir es provisional. Hay que ver si está bien hecha la demostración, pero va a haber varios resultados acá. resolver esta ecuación se puede resolver en varios casos simples, uno lo hace en la universidad se resuelve esta ecuación en varios casos simples, se puede resolver de manera numérica en casos más complejos y hay teoremas sobre no poder resolverla pero si existe la posibilidad de resolverla en otros casos entonces hay diferentes cosas que uno puede hacer con este problema muy complejo que uno puede simplificar por ejemplo pensar que el fluido es casi bidimensional, es decir que es muy chatito o puede pensar que, o sea que básicamente el problema es en dos dimensiones, o puede pensar que lo perturbo pero de manera muy poquita y hacer cálculos perturbativos o puedo pensar aproximaciones en las cuales la viscosidad está pero es muy pequeña y lo puedo tratar de manera perturbativa hay diferentes resultados que uno puede hacer aproximándose a la solución cuando no tiene la solución a mano Es muy compleja esa ecuación, no es la ecuación más compleja de la física. O sea, empalidece al lado de cuando uno acopla estas con la magnetroidodinámica, como dice Héctor, porque es mucho más compleja. También empalidece al lado de la teoría del campo gravitacional. Recordemos, por otro lado, hay una cosa importante para saber de la ecuación de Navier-Stock. La ecuación de Navier -Stock no es una ecuación fundamental de la física. Por dos razones: primero, porque es el comportamiento colectivo de las moléculas que componen un fluido es una teoría efectiva; describe un fluido, pero no sabemos que el fluido en realidad, al fin y al cabo, no es más que el comportamiento colectivo de…
Gastón Giribet explica cómo se simplifican las ecuaciones de Navier-Stokes para facilitar su resolución, mencionando el caso de los fluidos incompresibles.
Habla: Gastón GiribetPalabras #19ecuaciones navier stokes fluidos incompresiblesresolución ecuaciones navier stokesdensidad constante en fluidos…muy intenso ahí, entonces las ecuaciones de Navier-Stokes, si bien están, están muy deformadas, ya no se parecen mucho a su versión original, que es de la que versa el siguiente problema. El problema es el siguiente: siendo que esta ecuación gobierna... O sea que la densidad debe ser constante, o son generales, pero vamos a trabajar. No, eso lo tenés que agregar. Por ejemplo, si estás hablando de un fluido incompresible, que es como una ecuación mucho más sencilla, pero es una de las que tenés que tener en cuenta, que es una condición que básicamente lo que te está diciendo es que si vos tenés Un volumen cerrado en el espacio, la materia que entra, o sea la ganancia de materia en el tiempo ahí adentro, la cantidad de materia que va agregando ahí está relacionada con el flujo de materia a través de esa superficie. Por supuesto, no es lo mismo…
Gastón Giribet explica que, a pesar de simplificaciones, la ecuación de Navier-Stokes sigue siendo muy compleja debido a la presencia de derivadas de velocidad.
Habla: Gastón GiribetSignificado #13ecuación navier stokes muy complejaderivadas primeras de la velocidadderivadas segundas de la velocidad viscosidadfluido cerca de gravitación tierra…funciones muy complicadas que reemplazan la ecuación de continuidad. Mi pregunta es terminológica: si eso se sigue llamando Navier-Stokes. Sí, se sigue llamando Navier Stock; una de ellas se sigue llamando Navier Stock, lo único que la otra condición cambia. Por supuesto, esto es muy complejo; es una ecuación muy compleja. No importa los detalles que dije antes, lo dije por completitud, por si alguien está siguiendo las ecuaciones, pero hay derivadas primeras de la velocidad, derivadas segundas de la velocidad en el término de viscosidad; es muy muy complejo. Y por otro lado dije que se puede poner el fluido en diferentes situaciones; se puede poner el fluido cerca de una región donde hay gravitación, por ejemplo acá en la Tierra donde hay gravedad y pongo un poco de fluido hasta el fondo porque hay gravedad o puedo pensar en una nube de hidrógeno que navega el universo temprano donde no hay gravedad prácticamente salvo la propia. Entonces hay muchas situaciones en las que uno puede poner Esto, pero también hay situaciones que son externas, son forzadas; por ejemplo, yo puedo tener una cubeta con agua pero encima ponerle una cuchara adentro y darle vueltas o poner una paleta dentro y moverla de adelante para atrás, de manera tal que encima…
Gastón Giribet explica que si una simulación de fluidos muestra velocidades tendiendo a infinito, esto indica que la ecuación utilizada deja de ser válida debido a efectos relativistas.
Habla: Gastón GiribetSignificado #11 · Palabras #12ecuaciones diferenciales condiciones inicialesvelocidad tiende a infinito relativistasproblema para matemáticos ecuaciones diferencialescorrecciones relativistas ecuación de la luz…quiere decir que las leyes de la física se rompan, quiere decir que esa ley de la que estoy hablando deja de valer, por ejemplo. No sabemos que hay leyes que no son fundamentales, lo dijimos al principio, la ecuación de Navier-Stokes vale en cierto régimen. Si, por ejemplo, yo descubriera que sí, que en efecto, la velocidad de una parte del fluido de repente extiende a infinito, yo ya sé lo que pasa. Y bueno, a partir de cierto valor de la velocidad deja de valer esta ecuación porque se está acercando a la de la luz y la ecuación recibe correcciones relativistas y empieza a valer otra ecuación. Pero la pregunta estaba bien postulada porque es un problema muy importante para los matemáticos, muy interesante y difícil para los matemáticos; es el problema de condiciones iniciales o condiciones de contorno para ecuaciones diferenciales. Iniciales es en el tiempo, el contorno es en el espacio, pero básicamente es lo mismo; en algunos casos se habla mal y pronto de la misma manera la idea es si yo fijo ciertas Condiciones bien comportadas, si la misma dinámica de la evolución física me va a llevar a situaciones que no tienen sentido porque alguna cantidad física relevante diverge, eso es un problema abierto que luego se formuló de diferentes maneras; es el problema…
Héctor Socas aclara a los oyentes que el objetivo del problema no es resolver ecuaciones de fluidos con condiciones suaves, sino demostrar algo más fundamental.
Habla: Héctor SocasSignificado #5ecuaciones fluidos condiciones suavesdemostrar algo fundamentalresolver ecuaciones en situación determinadaecuaciones de fluidos con condiciones suavessolución se comporta bien francisproblema para matemáticos condición inicial…se comporta un fluido cuando comienza comportándose bien. La misma ecuación que gobierna la dinámica de un fluido puede hacer que de repente en algún tiempo finito se comporte mal: ese es el problema del milenio. En general, el problema del milenio se llamó Déjame incidir en una cosa para los oyentes, que como clarificación, no se trata de decir: voy a resolver estas ecuaciones en una determinada situación en la que le pongo un fluido en unas condiciones suaves y voy a resolverlo, no; se trata de demostrar. No es que yo diga: ah pues sí, yo lo resolví para estas condiciones y me salió que todo iba bien, no; no tienes que Demostrar que siempre, para cualquier condición que pongas, cualquier condición inicial que pongas, aquello se va a seguir comportando bien. Claro, pero eso es un problema para matemáticos, ¿no? O sea, gente como Francis se dedica a esas cosas, que son mucho más complicadas que el problema. Resolver esas situaciones es complicado, pero siempre las estarás resolviendo en unas condiciones particulares. Pero esto es que para cualquier, que puedas demostrar que para cualquier, da igual lo que tú le pongas de entrada, se va a comportar bien o encontrar un contraejemplo Al menos encontrar un contraejemplo en el que muestres que no es así. Demostrar eso. El…
Gastón Giribet continúa explicando la complejidad de los problemas matemáticos relacionados con las ecuaciones de Navier-Stokes, haciendo referencia a la resolución de uno de los Problemas del Milenio.
Habla: Gastón GiribetSignificado #15ecuaciones de navier stokesresolución problemas millenium…se le ofreció la medalla Field, porque la medalla Field te la dan, si hiciste ese resultado a menor de los 40 años, También rechazó la medalla Field y también rechazó posiciones de profesor en todo el planeta y terminó viviendo con su mamá en San Petersburgo Bueno, esto un poco para mostrar cuán complicados estos problemas. Solo uno ha sido resuelto en décadas, solo uno y no solamente eso, sino que si bien había muchos resultados que se iban acercando a este segundo. Creíamos que no iba a ser resuelto ya. Entonces, en ninguna de sus versiones, esta versión de FF, una clasificación, había gente que se estaba acercando mucho; entonces ahora voy a dejar que hay un físico que estaba en Harvard y que ahora trabaja para…
Francis Villatoro describe un método para abordar el problema del milenio relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes, que implica introducir un campo de velocidad arbitrario y calcular los operadores diferenciales para obtener una fuerza o 'forzamiento'. Este proceso permite generar una solución al problema C.
Habla: Francis VillatoroSignificado #14 · Palabras #15ecuaciones navier stokes problema ccampo velocidad arbitrario forzamientoflujo incomprensible campo presiones univocosingularidad calculo campo fuerza…si yo pongo una solución, una solución cualquiera, de hecho ni siquiera tiene que ser una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, una función cualquiera, un campo de velocidad cualquiera, lo meto en las ecuaciones de Navier-Stokes, en el miembro derecho. Y calculo los operadores diferenciales, obtengo una fuerza, un forzamiento. El forzamiento calculado en plan tramposo, como un truco, a partir de meter el campo de velocidades; de hecho, para un flujo incomprensible el campo de velocidades termina de forma unívoca el campo de presiones, con lo que yo elijo un campo de velocidades que me genere una singularidad. Calculo automáticamente el campo de presiones y eso calcula automáticamente el campo de fuerza. Entonces, yo ya tengo una solución del problema C; ah, pero eso tiene un problema, cuando yo hago eso, cuando Yo cojo una solución en principio suave como condición inicial, que yo sé que tiene un perfil típico de lo que es un blowout, de una explosión de la solución, algo que va a generar la singularidad. Lo que ocurre es que el campo de fuerza que me resulta no es…
Francis Villatoro explica que la solución obtenida mediante un truco no resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes ni simula la evolución natural del fluido para generar una singularidad.
Habla: Francis VillatoroSignificado #17ecuaciones de navier stokes sin resolversingularidad generada artificialmentefluido evoluciona naturalmenteesforzamiento artificial de la ecuación…suave como condición inicial, que yo sé que tiene un perfil típico de lo que es un blowout, de una explosión de la solución, algo que va a generar la singularidad. Lo que ocurre es que el campo de fuerza que me resulta no es infinitamente diferenciable. El hecho de que esta solución que yo he metido aquí, con este truco, fijaros, esto es un truco, porque no estoy resolviendo las ecuaciones de never stops, no estoy cogiendo una condición inicial y evolucionando la ecuación en el tiempo para obtener cómo se comporta el fluido y que el fluido de manera natural evolucione y genere la singularidad. Yo estoy metiendo yo la solución generando ese residuo residual de la ecuación, ese esforzamiento artificial y gracias a tener ese esforzamiento artificial yo puedo meter cualquier cosa. Puedo meter en cualquier campo de velocidad, el que yo quiera, pero entonces eso no te ayuda a entender la física de los fluidos, ¿no? Y a quién le importa; es que es la formulación C, es la trampa que nos metió Feferman, ese camino alternativo que Feferman…
Francis Villatoro describe una solución matemática que implica un vórtice central y chorros de fluido hacia arriba y abajo, explicando las dificultades para conectar esta solución con funciones infinitamente diferenciables.
Habla: Francis VillatoroSignificado #18vórtice central en fluidochorros de fluido hacia arriba abajosolución infinitamente diferenciableproblema fefferman c y dsoporte compacto de la solución…en un plano el fluido está dando en espiral hacia el interior. Claro, cuando eso ocurre, estamos metiendo fluido hacia el centro; ese fluido tiene que escapar por algún lado y escapa de manera transversal, entonces tengo un chorro transversal a ese plano. a ese disquito que estoy cayendo en espiral con un vórtice y tengo un chorro hacia arriba y un chorro hacia abajo. Yo evacuo el fluido hacia arriba y hacia abajo. Entonces yo tengo una solución de ese tipo. Claro, conectar esta solución con algo que sea infinitamente diferenciable es difícil y además lo que se pretendía era resolver el problema C y también el problema D. y para eso lo más natural es que la solución que yo fabrique tenga soporte compacto, es decir, que sea exactamente cero a partir de cierta distancia. Yo tengo como una caja y todo ocurre dentro de esa caja; dentro de una distancia máxima y desde las paredes de esa caja hasta el infinito tengo exactamente cero. Entonces, yo quiero construir un campo de velocidades que me da un campo de presiones y que me da…
Francis Villatoro describe una demostración 'maquinal' similar a las que él realiza al resolver problemas de fluidos tipo 'blow-up', comparándola con su experiencia en ecuaciones más sencillas.
Habla: Francis VillatoroSignificado #9 · Palabras #18problemas fluidos tipo blow-upecuaciones de una dimensiónsolución autosemejante en fluidosecuación de autosemejanza iafrancis villatoro analiza soluciones…problema. El problema es cuando ya empieza la demostración como tal, cuando empieza esa; es la discusión de cómo se ha demostrado cuáles son los puntos clave de la demostración. Después vienen las 140 páginas o 130 páginas porque la bibliografía es amplia. En esas páginas viene la demostración y claro, viene una demostración extremadamente maquinal. O sea, una demostración de máquina. Es decir, por ejemplo, yo cuando resuelvo un problema de fluidos de tipo blow-up, que yo he estudiado blow-up en varias ecuaciones, mucho más sencillas que en la Navidad de Stops, ecuaciones en una dimensión, cosas muy sencillitas. Claro, aquí uno de los puntos clave es que la solución que se obtiene es una solución autosemejante, que es la solución típica en fluidos o en física para obtener blow-up, es obtener un perfil autosemejante. La ecuación de autosemejanza de este artículo que genera la IA son dos ecuaciones diferenciales acopladas con dos parámetros, eso con absoluta seguridad tiene muchas soluciones; un matemático humano nunca continuaría la demostración sin analizar en detalle esas soluciones y sin clasificarlas, y Francis tampoco. parece muy natural porque yo me he encontrado en alguno de los problemas que yo he estudiado por ejemplo tengo una ecuación que tiene varias ramas o sea varias soluciones autosemejantes y me he encontrado que cuando se aproxima la solución al blow up va por…