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Raíces de números negativos
Ep546: Cafeína; Cuántica y Números Complejos; Altruismo y Ética; Supernova
19 de febrero de 20267 momentos
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Héctor Socas continúa explicando cómo se construyen los números imaginarios a partir de la unidad imaginaria, describiendo un conjunto con propiedades similares a los números reales.
…que haga una pequeña introducción para los oyentes antes de que me imagino que ustedes vayan a llevar el nivel a un nivel que a lo mejor ni yo lo pueda seguir, pero por lo menos por introducir cuál es el problema del que vamos a hablar; resulta que hay una... Bueno, vamos a empezar por los números complejos, ¿no? Saben que los números complejos se introducen en matemáticas porque creo que es en el siglo XVII, de hecho, o XVIII por ahí históricamente, como una forma de resolver o de dar solución a las ecuaciones algebraicas, que resulta que muchas de ellas, ecuaciones algebraicas son las que son con polinomios. Tiene un polinomio igual a cero, con sus coeficientes; polinomio de x elevado a una cierta potencia con un coeficiente, tal, tal, tal, igualado a cero. De forma general, un polinomio igual a cero, eso es una ecuación algebraica. Pues resulta que aunque todos los elementos de esa ecuación sean números reales, los coeficientes sean números reales, y tú estás pensando en el dominio de los reales, hay ecuaciones algebraicas muy sencillas que no tienen una solución real; típicamente pues x cuadrado más 1 igual a cero, x cuadrado igual a menos 1. No existe ningún número real que satisfaga esa ecuación, ¿no? Entonces, se introducen los números complejos como una no una extensión, como algo más general que los números reales, que sí que, dentro del dominio de los números complejos, cualquier ecuación algebraica en la que se usen números complejos para los coeficientes y se considera el dominio de los números complejos, tiene. una solución que está dentro de los números complejos. Entonces nos quedamos más satisfechos porque el resultado se queda ahí dentro. ¿Y qué son los números complejos? Pues decía yo, la ecuación está x cuadrado igual a menos 1, sabemos que el menos 1 no tiene una raíz cuadrada, no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de menos 1, no hay ningún número real que cumpla eso. entonces uno puede decir, bueno, imaginemos que hay un número que no es real, lo llamamos imaginario, por lo que sea, pues un número imaginario tal que al multiplicarlo por sí mismo de menos uno ese número no está entre los reales pero vamos a suponer que existe y esa es la unidad de los números imaginarios y a partir de ahí yo puedo construir números imaginarios multiplicando un número real Por esa unidad imaginaria. Entonces, ahí tengo toda una serie de números, todo un conjunto de números que tiene la misma cardinalidad que el de los reales, pero que son números que tienen esta propiedad, de que son solución de estas raíces de números negativos y luego los números complejos. Se construyen simplemente sumando un número real con uno de estos números imaginarios. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria; hasta aquí todo bien. Se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar; tienen todas esas propiedades y ¿qué pasa? Que un número complejo en realidad uno lo puede ver como un par de números reales. Un número complejo tiene una parte real que es un número real y una parte imaginaria que es otro número real multiplicado por la unidad imaginaria, entonces yo los puedo ver como un par de números. Como si fueran vectores de dos componentes donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, y además funciona bien porque yo puedo sumar números complejos y se comporta igual que cuando sumo vectores; puedo incluso…
Significado #1 · Palabras #1
Héctor Socas continúa explicando cómo se construyen los números imaginarios a partir de la unidad imaginaria, describiendo un conjunto con propiedades similares a los números reales.
Habla: Héctor SocasSignificado #1 · Palabras #1números complejos en matemáticas siglo xviiecuaciones algebraicas polinomios siglo xviiisolución a ecuaciones algebraicasecuaciones algebraicas sin soluciones realespolinomio de x elevado a potenciax cuadrado más uno igual ceronúmeros reales no satisfacen ecuacionesnúmeros complejos extensión números realesecuaciones algebraicas con números complejosdominio de números complejosnúmeros complejos para ecuaciones algebraicasraíz cuadrada de menos 1número imaginario multiplicación por sí mismounidad de los números imaginariosecuaciones sin solución en realesnúmeros imaginarios unidad imaginariacardinalidad similar a números realesraíces de números negativosnúmeros complejos parte realnúmeros reales multiplicados unidad imaginariapropiedades de números complejos multiplicación…que haga una pequeña introducción para los oyentes antes de que me imagino que ustedes vayan a llevar el nivel a un nivel que a lo mejor ni yo lo pueda seguir, pero por lo menos por introducir cuál es el problema del que vamos a hablar; resulta que hay una... Bueno, vamos a empezar por los números complejos, ¿no? Saben que los números complejos se introducen en matemáticas porque creo que es en el siglo XVII, de hecho, o XVIII por ahí históricamente, como una forma de resolver o de dar solución a las ecuaciones algebraicas, que resulta que muchas de ellas, ecuaciones algebraicas son las que son con polinomios. Tiene un polinomio igual a cero, con sus coeficientes; polinomio de x elevado a una cierta potencia con un coeficiente, tal, tal, tal, igualado a cero. De forma general, un polinomio igual a cero, eso es una ecuación algebraica. Pues resulta que aunque todos los elementos de esa ecuación sean números reales, los coeficientes sean números reales, y tú estás pensando en el dominio de los reales, hay ecuaciones algebraicas muy sencillas que no tienen una solución real; típicamente pues x cuadrado más 1 igual a cero, x cuadrado igual a menos 1. No existe ningún número real que satisfaga esa ecuación, ¿no? Entonces, se introducen los números complejos como una no una extensión, como algo más general que los números reales, que sí que, dentro del dominio de los números complejos, cualquier ecuación algebraica en la que se usen números complejos para los coeficientes y se considera el dominio de los números complejos, tiene. una solución que está dentro de los números complejos. Entonces nos quedamos más satisfechos porque el resultado se queda ahí dentro. ¿Y qué son los números complejos? Pues decía yo, la ecuación está x cuadrado igual a menos 1, sabemos que el menos 1 no tiene una raíz cuadrada, no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de menos 1, no hay ningún número real que cumpla eso. entonces uno puede decir, bueno, imaginemos que hay un número que no es real, lo llamamos imaginario, por lo que sea, pues un número imaginario tal que al multiplicarlo por sí mismo de menos uno ese número no está entre los reales pero vamos a suponer que existe y esa es la unidad de los números imaginarios y a partir de ahí yo puedo construir números imaginarios multiplicando un número real Por esa unidad imaginaria. Entonces, ahí tengo toda una serie de números, todo un conjunto de números que tiene la misma cardinalidad que el de los reales, pero que son números que tienen esta propiedad, de que son solución de estas raíces de números negativos y luego los números complejos. Se construyen simplemente sumando un número real con uno de estos números imaginarios. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria; hasta aquí todo bien. Se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar; tienen todas esas propiedades y ¿qué pasa? Que un número complejo en realidad uno lo puede ver como un par de números reales. Un número complejo tiene una parte real que es un número real y una parte imaginaria que es otro número real multiplicado por la unidad imaginaria, entonces yo los puedo ver como un par de números. Como si fueran vectores de dos componentes donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, y además funciona bien porque yo puedo sumar números complejos y se comporta igual que cuando sumo vectores; puedo incluso…
José Edelstein continúa la discusión sobre el uso de números complejos en física cuántica, ejemplificando con la solución a ecuaciones sin respuesta como hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI.
Habla: José EdelsteinSignificado #4girolamo cardano siglo xvinúmero complejo elevado al cuadradocuerpo de números complejosfunciones derivadas integrales ciencia…yo arranco comentando, como tú lo dijiste, que la ecuación X cuadrado más 1 igual a 0 es una ecuación insultantemente simple y entonces el hecho de que no tenga solución nos enfrenta a dos posibilidades, o resignarnos y decir, pues, ¿qué le vamos a hacer? La vida es así de cruel, o lo que hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI, que fue decir: pues, venga, si no la hay, la pongo yo, la creo yo. Y es un número que se llama i, que elevado al cuadrado a menos uno y luego cuando uno empieza con ese número a preguntarse ¿puedo multiplicar ese número por un número real? ¿Puedo sumarlo a un número real? Y uno empieza a jugar algebraicamente con eso, se da cuenta de que los números complejos estructuran algo que se llama cuerpo, que tiene una serie de propiedades: suma, multiplicación, inverso, elemento neutro, bueno, exactamente igual que los números reales y por lo tanto cuando uno aprende funciones derivadas integrales, todo lo que uno aprende en una carrera científica o técnica. Si uno va a la primera clase o segunda clase de esas materias, de la materia en la cual uno aprende a derivar, a integrar, etcétera, análisis, uno ve que lo que necesita para poder desarrollar un análisis es un cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas…
José Edelstein explica cómo la regla de 'i cuadrado igual a menos 1' permite realizar un producto vectorial peculiar al multiplicar números complejos.
Habla: José EdelsteinSignificado #16números complejos con regla i cuadradoproducto vectorial de números complejosregla de i cuadrado menos 1multiplicación distributiva números complejos…el producto de dos vectores da un tercer vector perpendicular a los dos anteriores y por lo tanto en el plano no puedo definir un producto vectorial. Entonces, el producto de los números complejos es un producto que lo único que hace es Se puede definir otro. producto vectorial diferente Bueno, exactamente, pero ese producto vectorial diferente en realidad es el producto que sale sencillamente de decir i cuadrado igual a menos 1 Con solo esa regla, y ahora tú agarras un número que es a más b por i, o sea 3 más 5i multiplicado por 2 menos 4i distributiva y solo i cuadrado igual a menos uno, te realiza ese producto rarísimo vectorial. Yo cuando doy el curso, y voy cerrando esta parte introductoria, presento los números complejos sin hablar de i, hablando justamente de vectores en el plano y mostrando el producto. Les muestro que el producto que se define es rarísimo, tiene un signo menos,…
José Edelstein argumenta que los números reales son una simplificación de los números complejos, comparándolos con cómo los números naturales son una sombra de los números reales.
Habla: José EdelsteinSignificado #15números reales sombra de números complejosecuación algebraica con números complejos…complejos tienen una estructura como cuerpo mucho más noble, por así decirlo, que los números reales; cuando uno lo aprende, y yo digo esto en clase, si uno tiene una mentalidad un poco matemática en la cual sospecha que el universo se va a aprovechar de Aquellas cosas que son elegantes y robustas uno no tiene ninguna, yo diría; acá puede ser que, no sé si, creo que ni Gastón ni Francis se van a oponer a esto, pero que la matemática está, la realidad está escrita en números complejos, o sea los números reales son una sombra de números complejos, como los números naturales son una sombra de números reales, pero los números complejos son, no solo permiten resolver cualquier ecuación algebraica como bien decías, sino que además son la forma en la cual se escribe naturalmente todo prácticamente. Dicho esto y perdón que me alargo, pero es que como me voy a ir, digo. Todo bien. Alárgate todo lo que quieras. Largo todo mi rollo. Dicho esto, uno siempre puede deshacer todo y duplicando las dimensiones, sí es cierto. Pero es cierto que a medida que uno va avanzando en el tipo de operaciones que uno va realizando, cada vez es…
José Edelstein explica por qué considera que el número pi no existe, argumentando que tiene infinitos decimales, pero a la vez reconoce su presencia en cálculos geométricos.
Habla: José EdelsteinSignificado #20número pi infinitos decimalescircunferencia perímetro diámetro piespacio euclidio perimetro circunferenciaecuación x al cuadrado más 1…uno puede plantearse, o sea, yo estoy muy confortable en un universo que está descrito por números complejos, muy muy confortable e incluso creo que cuando, si uno se pusiera un poco pesado con el tema, uno podría decir, bueno, es que el número pi no existe. ¿Por qué no existe? A ver, escríbelo. Ah, no, es que no lo puedo escribir porque tiene infinitos decimales. Ah, eso es lo que estoy diciendo. Sin embargo, toda circunferencia en el espacio Euclidio su perímetro dividido el diámetro da pi. Y acá es lo mismo, el número i no existe. No sé, escribe x al cuadrado más 1 igual a 0. Ya está, ahí está el número i escrito. Pero es que el espacio euclidio tampoco existe, y me callo el audio. No hay más que hablar, Señoría, la verdad es que, José, después de esta intervención yo creo que has sentado totalmente. Pero ahora yo voy a estar en contra. No, no, yo voy a estar ni en contra ni a favor porque tengo una pregunta en realidad. A mí también.…
Gastón Giribet aclara que el uso de matrices para representar números complejos es una forma alternativa de escritura, y que aunque se les llame diferente, siguen siendo equivalentes a los números complejos tradicionales.
Habla: Gastón GiribetSignificado #18números complejos representados con matricesmatrices al cuadrado dan menos uno…que multiplicar la i, es lo que decía José antes, cuando dijo las matrices 2x2. Entonces, no estoy usando un número complejo, mentira maestro, estás usando una estructura algebraica isomorfa y el número complejo es esa entidad algebraica subyacente, no la. Forma en la que a vos se te ocurre escribirla. Entonces estás usando números complejos solamente que he escrito con matrices porque esto es un retardado, pero es la i de toda la vida, no la llamaste i, la llamaste matriz, pero al cuadrado te da menos uno, entonces ¿qué ven i con? Entonces hay muchos trabajos que son eso, no; lo que pasa es que son reales pero en un espacio en el cual existe un proyector que al cuadrado que lo traigo de afuera. Bueno, claro, si empezás a poner demasiada estructura de afuera, sí, podés hacer casi…
Francis Villatoro explica la relación entre números reales y algoritmos, comparando la imposibilidad de calcular un número real aleatorio con la existencia de más números reales que algoritmos calculables.
Habla: Francis VillatoroSignificado #19números reales no calculablesalgoritmos numerables versus realescantidad despreciable de números realesfrancis villatoro y números reales…es la fractalidad, todo lo que en los sistemas caóticos es un comportamiento en ciertas proyecciones veo fractales. Lo llamaban dragones, Francis, dragones eran, ¿no? Dragones son objetos monstruosos, pero son objetos que uno puede como tratar de evitar, ¿no? Es igual que los números reales, los números reales, si tú coges aleatoriamente un número real, no es calculable; es imposible de calcular, porque los algoritmos que calculan números son numerables y los reales son no numerables. Entonces hay más reales que algoritmos, entonces solo puedo calcular una cantidad numerable de números reales: una cantidad despreciable. Claro, completamente despreciable, de medida nula en todos los números; los que yo puedo calcular, pero sin embargo, todo lo construyo solo con esos. Poquitos números, de hecho con una cantidad finita de números, nuestros ordenadores trabajan con cantidades finitas de números, una cantidad finita, muy pequeñita de números, y con eso lo calculo todo y no en ningún momento he hecho falta números, ¿no?…