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Francis VillatoroBorja TosarJuan Carlos GilGastón GiribetIgnacio Crespopérdida de precisión al restarnúmeros con tres dígitos significativoscancelación catastrófica de dígitosnúmeros similares resta pérdida dígitosejemplo cancelación números 2 32x10-3pérdida de dígitos representación numéricalimitaciones iVoox tres dígitosresta números parecidos villatoropérdida de dígitos significativos iVooxerror enorme en resta memoriaaritmética exacta y precisióndiferencia cancelativa ordenador10 a la menos 11.0010 a la menos 1Francis Villatoro2.32 x 10^-31.23 por 10 elevado a menos 25.32 por 10 elevado a 464 bits
Pérdida de dígitos representación numérica
Ep577: Planeta Enano; Errores en IAs; Romper Agujeros Negros; Habitabilidad Química; Virus y Monos
29 de octubre de 20265 momentos
Con
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Francis Villatoro explica cómo al restar dos números muy parecidos se produce una pérdida de dígitos debido a las limitaciones de representación numérica.
…número de datos; no estamos hablando de los grandes modelos de lenguaje de las grandes empresas de IA, sino en modelos más pequeños, están dando muy buenos resultados, sorprendentemente. Eso para almacenar lo que es la red, todos los parámetros de la red. Cuando yo resto dos números muy parecidos, yo pierdo precisión. Vamos a ver el ejemplo más sencillo: Tres dígitos significativos. Números del tipo 1.23 por 10 elevado a menos 2 o 5.32 por 10 elevado a 4. Tengo tres dígitos. Yo puedo representar en tres dígitos mi número. Si yo tengo dos números, pi y el doble de pi, y lo resto, la diferencia tiene infinitos dígitos. Yo la puedo escribir con esos tres dígitos significativos pues la diferencia de Dos números, yo qué sé, 2.32 por 10 a la menos 3. Pero ¿qué pasa cuando yo resto dos números? Si yo resto dos números que son parecidos, yo pierdo dígitos. Eso se llama cancelación catastrófica. Si yo cojo por el número 1.00, el 1, por exponente elevado a 0, o sea, el número 1. 1.00, y de resto el número 9.999. Perdón, estamos tomando tres dígitos: 9.99 por 10 a la menos 1, es decir, el 0,999. Yo sé que la diferencia va a ser 0.0001, pero no me cabe en tres dígitos; en tres dígitos como mucho puedo poner un 1, 1.0010 a la menos 1 claro, si en realidad el número que yo estaba restando no Era 0,99, sino que era 0,999, sino que era 0,999, 8764321 pero que lo he redondeado a 0,99. Cuando yo hago la resta en memoria, lo que me queda es un número que tiene un solo dígito significativo: 0,001. El resto de los dígitos se han perdido; tengo un error enorme. Me cabrían si yo hubiera calculado con aritmética exacta o con mayor número de dígitos significativos; esa diferencia me habría dado cuenta de que tengo dígitos que puedo poner ahí, pero no los puedo poner porque el ordenador no lo sabe. Esos dígitos se han perdido. Esta diferencia cancelativa aparece. cada vez que yo resto dos números parecidos y hay mecanismos para evitar estas cancelaciones catastróficas. Hay mecanismos que te permiten ciertas restas reescribirlas sin que haya una resta. Básicamente la idea es que cuando yo tengo que restar dos cosas que…
Significado #1 · Palabras #1
Francis Villatoro explica cómo se almacenan números en ordenadores, específicamente aquellos con una mantisa y un exponente, como 1.32 por 10 elevado a menos 14.
Habla: Francis VillatoroSignificado #10 · Palabras #12números con mantisa y exponentealmacenamiento binario de númerosmantiza en binario iVooxbit de signo en números…que tenemos dos números que son muy parecidos y yo los resto. Si yo tengo, claro, en el ordenador yo tengo que almacenar los números en un tamaño finito. Normalmente por defecto en los procesadores que estamos usando se trabaja con 64 bits, con 8 bytes. Entonces, en esos 64 bits hay que meter un número que tiene una mantiza y un exponente Un número, por ejemplo, 1,32 por 10 elevado a menos 14 El menos 14 es el exponente, por supuesto los números se almacenan en binario Y sería 2 elevado a menos el número que corresponda Pero bueno, para simplificarlo lo menciono en decimal Y tengo la mantiza, que es lo que multiplica a esa potencia Entonces cuando yo almaceno, almaceno la mantiza, que la mantiza siempre se almacena en binario empezando con un 1, con lo que todos los números es 1.cosas, luego ese bit de 1 no se almacena, lo que se almacena ahí es el signo, positivo o negativo del número y meto, digamos, el resto de los dígitos de la mantiza y el exponente. Pues lo que ocurre es que, claro, todo número ha de ser truncado o redondeado para que quepa en ese tamaño. Cuando yo tengo dos números, el tamaño de esa mantiza es lo que se llama la precisión del número. La precisión en la aritmética numérica, en la…
Francis Villatoro explica cómo al restar dos números muy parecidos se produce una pérdida de dígitos debido a las limitaciones de representación numérica.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #1pérdida de precisión al restarnúmeros con tres dígitos significativoscancelación catastrófica de dígitosnúmeros similares resta pérdida dígitosejemplo cancelación números 2 32x10-3pérdida de dígitos representación numéricalimitaciones iVoox tres dígitosresta números parecidos villatoropérdida de dígitos significativos iVooxerror enorme en resta memoriaaritmética exacta y precisióndiferencia cancelativa ordenador…número de datos; no estamos hablando de los grandes modelos de lenguaje de las grandes empresas de IA, sino en modelos más pequeños, están dando muy buenos resultados, sorprendentemente. Eso para almacenar lo que es la red, todos los parámetros de la red. Cuando yo resto dos números muy parecidos, yo pierdo precisión. Vamos a ver el ejemplo más sencillo: Tres dígitos significativos. Números del tipo 1.23 por 10 elevado a menos 2 o 5.32 por 10 elevado a 4. Tengo tres dígitos. Yo puedo representar en tres dígitos mi número. Si yo tengo dos números, pi y el doble de pi, y lo resto, la diferencia tiene infinitos dígitos. Yo la puedo escribir con esos tres dígitos significativos pues la diferencia de Dos números, yo qué sé, 2.32 por 10 a la menos 3. Pero ¿qué pasa cuando yo resto dos números? Si yo resto dos números que son parecidos, yo pierdo dígitos. Eso se llama cancelación catastrófica. Si yo cojo por el número 1.00, el 1, por exponente elevado a 0, o sea, el número 1. 1.00, y de resto el número 9.999. Perdón, estamos tomando tres dígitos: 9.99 por 10 a la menos 1, es decir, el 0,999. Yo sé que la diferencia va a ser 0.0001, pero no me cabe en tres dígitos; en tres dígitos como mucho puedo poner un 1, 1.0010 a la menos 1 claro, si en realidad el número que yo estaba restando no Era 0,99, sino que era 0,999, sino que era 0,999, 8764321 pero que lo he redondeado a 0,99. Cuando yo hago la resta en memoria, lo que me queda es un número que tiene un solo dígito significativo: 0,001. El resto de los dígitos se han perdido; tengo un error enorme. Me cabrían si yo hubiera calculado con aritmética exacta o con mayor número de dígitos significativos; esa diferencia me habría dado cuenta de que tengo dígitos que puedo poner ahí, pero no los puedo poner porque el ordenador no lo sabe. Esos dígitos se han perdido. Esta diferencia cancelativa aparece. cada vez que yo resto dos números parecidos y hay mecanismos para evitar estas cancelaciones catastróficas. Hay mecanismos que te permiten ciertas restas reescribirlas sin que haya una resta. Básicamente la idea es que cuando yo tengo que restar dos cosas que…
Francis Villatoro explica cómo transformar etiquetas numéricas arbitrarias en estimaciones probabilísticas mediante el uso de la función exponencial para calcular pérdidas y gradientes en redes neuronales.
Habla: Francis VillatoroSignificado #16 · Palabras #17función exponencial para probabilidadespérdidas con estimación probabilísticagradientes de redes neuronales iVooxetiquetas numéricas arbitrarias transformadas…normalmente. Lo que hago yo es convertirlo en probabilidades metiendo la exponencial. Entonces yo, si tengo 1, menos 9 y 9, pues hago la exponencial de 1, la exponencial de 9 y la exponencial de menos 9. Pero fijaros, todo eso lo divido entre la suma de esas. exponenciales. Entonces, ¿cuál es el resultado? Cada numerito lo he convertido en un número entre 0 y 1 y la suma de los tres números es la unidad. Lo he convertido en probabilidades. He hecho una estimación probabilística y en lugar de tener una etiqueta numérica más o menos arbitraria, usando la exponencial he obtenido una estimación de tipo probabilidad. Y eso tiene ciertas ventajas porque cuando yo utilizo esas probabilidades para calcular las pérdidas, para calcular los errores de la red, los gradientes, es decir, cómo cada una de esas probabilidades varía, cuando yo varío un parámetro de la red, un peso o un sesgo, uno de los vectores que aparece en cada una de las capas, yo varío ligeramente ese valor y eso me modifica la salida. ¿Cuánto me modifica la salida? Más o menos, eso se llama la sensibilidad; eso se determina calculando el gradiente, calculando la derivada de la salida respecto a ese parámetro. Bien, pues cuando yo utilizo probabilidades con softmax, los gradientes suman cero. Entonces, calcular los…
Francis Villatoro explica cómo la diferencia de magnitud entre números puede llevar a problemas numéricos al comparar valores en aritmética flotante.
Habla: Francis VillatoroSignificado #9aritmética flotante y números pequeñostamaño de almacenamiento exponente insuficientearitmética simple 10 elevado a 80…diferencia. Se utilizan logaritmos, normalmente logaritmos neperianos, pero bueno, imaginemos que fueran logaritmos en base 10: serían 18 órdenes de magnitud, es una barbaridad, ¿por qué? Porque si utilizo una aritmética flotante, una aritmética numérica, por Ejemplo, coma simple, ya esa diferencia es tan grande que cuando comparo un número con el otro, el más pequeño es prácticamente cero y se va, no lo tengo en cuenta. Aquí normalmente se suele, claro, para evitar este tipo de grandes saltos en magnitud, sobre todo evitar que la exponencial se me salga, porque la exponencial 10 elevado a 200, 10 elevado a 300 en aritmética doble y 10 elevado a 80 o por ahí en aritmética simple ya se me salen, se me salen desde el tamaño que puedo almacenar, no tengo el exponente suficientemente grande. Entonces para evitar eso lo que se hace. Es restar el máximo de los valores de los logits, en mi caso eran 1 menos 9, 9. El máximo es 9, resto 9, entonces el 9 lo convierto en 0; la exponencial de 0 vale 1 y el 1 lo convierto en menos 8. La exponencial de menos 8 es un número pequeñito, pero bueno,…
Francis Villatoro explica cómo el uso de exponenciales en redes neuronales puede llevar a que algunos números pequeños desaparezcan y se conviertan en cero debido a grandes diferencias de magnitud.
Habla: Francis VillatoroSignificado #5exponenciales y órdenes de magnitudnúmeros pequeños desaparecen en redes neuronalesgradientes para respuesta correcta red neuronallogik asociado a la probabilidad…un número pequeñito, pero bueno, está bien comparado con 1, pero la exponencial del otro menos 9 ahora es la exponencial de menos 18 y la exponencial de menos 18 en mucha aritmética podría ser 0. Y si usáis aritmética doble, pues pongamos entonces números del orden de 64, que yo tengo 400 categorías y las he ordenado entre el 1 y el 400. Ya tengo una diferencia enorme, 400 órdenes de magnitud cuando aplique las exponenciales. Eso hace que cuando yo aplique las exponenciales, algunos números pequeños desaparecen, se convierten en cero. Esto no es problema, si tengo muchos números, que algunos de ellos se pongan en cero, no hay problema. Pero en el entrenamiento yo trato de calcular esos gradientes para que la respuesta correcta de la red neuronal, claro, la respuesta correcta tiene asociado el mayor logik, es decir, la mayor probabilidad, es decir, con esta normalización la probabilidad Igual a 1 y los demás tienen probabilidades muy pequeñas. Hay circunstancias en las que todas las probabilidades de los demás son muy pequeñas, con lo que cuentan como si fueran cero. Porque yo tengo un número que es 1 dividido entre ese número 1 más todos…