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Operación suma puntos curva elíptica
Ep 503: Propulsión Espacial; Computación Cuántica; Fusiones de Estrellas de Neutrones; Agujeros Negros
13 de marzo de 20255 momentos
Con
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Francis Villatoro explica cómo el cifrado con clave pública utilizando curvas elípticas funciona de manera similar a los sistemas como RSA, donde multiplicar números grandes es fácil pero revertir esa operación es extremadamente difícil.
…enorme, con una enorme cantidad de dígitos decimales; semiprimo, para ser preciso, ¿no? En este caso es semiprimo porque es un producto, es un producto de dos primos, semiprimo o biprimo. Entonces, tengo este número muy largo: factorizarlo es muy difícil. Pues aquí ocurre algo parecido, cuando yo con la operación suma de puntos en la curva elíptica tomo un producto escalar muy alto, por ejemplo, 1000P, 100.000P; un número, un chorizo de 256 bits de número multiplicado por P es un número enorme, que tiene una cantidad enorme de dígitos, multiplicado por P. Ahora invertir ese número para saber cuál era P es muy difícil, es muy costoso. Entonces esa es la idea del cifrado con clave pública con curvas helísticas. Por supuesto, en el cifrado no se usan curvas elípticas en el plano con números reales, se utilizan números enteros; se utiliza básicamente ZP con P, un número primo, es decir, se trabaja con un retículo discreto y lo que llamo curvalística es una versión discreta de la curva, pero aquí por seguridad se trabaja con un número P enorme; no se trabaja con Z3 012 o con Z5 01234, sino que trabaja con un número primo que tiene también 256 dígitos en binario, un chorizón de número primo. entonces todo esto complica mucho el cálculo y cómo, entonces, es muy robusto, con 256 bits, el algoritmo descifrado de Bitcoin es prácticamente a día actual, es prácticamente imposible de descifrar, de criptoanalizar ¿Cómo se podría hacer esto con un…
Significado #1 · Palabras #1
Francis Villatoro explica cómo realizar operaciones de suma en curvas elípticas, describiendo el proceso mediante analogías visuales y haciendo referencia a líneas secantes y tangentes.
Habla: Francis VillatoroSignificado #2 · Palabras #2cifrado con curvas elípticas villatoroanalogía pinzas papel curva elípticarsa 2048 bits saracifrado con curvas elípticasanalogías visuales francis villatoroforma manguito clips papelcurvas helísticas definidascifrado bitcoin curva helísticacurva elíptica producto de puntoscaracterísticas matemáticas curvas elípticaslíneas secantes curvas elípticasreflexión eje x curva elípticasuma de un punto consigo mismotangente como límite secante villatorosuma curvas elípticas villatoropunto negativo reflejo sumaproducto escalar entero punto…firma digital basado en curvas elípticas y es un algoritmo que le permite utilizar una clave más corta que los algoritmos estándares de cifrado con clave pública como RSA. La clave que usa Bitcoin es de 256 bits y eso equivale a uno del orden de 3000 bits en. RSA. En RSA, como ya comentó Sara algunas veces, en los casos más exagerados se trabaja con 2048 o por ahí, no mucho más. La idea del cifrado con curvas elípticas. Una curva elíptica es una cosa que se parece, ¿acordáis esto de las pinzas para papel? Que son negras, que tienen una forma de triángulo y que tienen como dos, como un mango. Pues ese mango, la forma de ese mango es la forma de una. Curva elíptica, ¿vale? Una curva elíptica, si imaginamos en el plano, pues es una curva que baja en la parte positiva del plano. Tienes las ordenadas y las abscisas, el eje horizontal y el eje vertical. Baja, alcanza un mínimo, sube, tiene un máximo, vuelve a bajar y ahora cruza el eje X y abajo es completamente simétrica. Es como la forma del manguito ese de los clips estos de papel. Es parecido a los lazos que tienes en el fondo. Es parecido, lo que pasa es que no necesariamente se cruzan, normalmente no se cruzan. En las curvas elípticas cuando hay corte, lo que tienes es como un globo y después tienes la parte suave al lado, una especie de curva hiperbólica al lado. En las curvas helísticas básicamente son curvas definidas por un Polinomio en el plano que tiene la sisa, la coordenada vertical y cuadrado, igual a un polinomio cúbico en la coordenada horizontal. Yo qué sé, x al cubo más 7. La curva helística que se usa con Bitcoin, en el cifrado de Bitcoin, es y al cuadrado igual a x al cubo más 7. Es una curva extremadamente sencilla, y la curva elíptica tiene muchas propiedades, y una de ellas es que se puede definir una suma o producto, depende de cómo lo quieras llamar, una suma de puntos dentro de la curva. Yo puedo tomar dos puntos en la curva y puedo definir un nuevo punto al que llamo la suma de estos dos puntos. La idea es trazo una secante, una línea que pase por estos dos puntos y esa línea obligatoriamente me cortará a otro punto de la curva. Bien, pues ese otro punto de la curva no es la suma. La suma es la reflexión respecto a la línea horizontal, al eje X, de ese punto. Como la curva es simétrica, todo punto de la curva tiene un reflejado. Entonces la suma es trazar esa línea y reflejar un punto. Si yo tengo un único punto, también puedo sumar. Puedo sumar ese punto consigo mismo. Claro, una secante cuando yo aproximo los dos puntos se convierte en una tangente, entonces yo tomo un punto, tomo la tangente, lanzo la línea y obtengo otro punto que es el negativo, lo reflejo y obtengo el valor de la suma y puedo construir el punto 2, si tengo el punto P, puedo construir el punto 2P y por analogía con el 2P y el P puedo definir el 3P o con el 2P y el 2P obtener 4P, etc. Puedo tener lo que se llama un producto escalar, un número entero multiplicado por un punto. Pues esta es la idea. La idea de los algoritmos descifrados con clave pública, como ya muchos oyentes sabrán, pero quizás lo recordamos, como el algoritmo RSA, es utilizar un problema que sea fácil en una dirección y muy difícil en la contraria. Por ejemplo, un problema muy fácil…
Francis Villatoro explica cómo el cifrado con clave pública utilizando curvas elípticas funciona de manera similar a los sistemas como RSA, donde multiplicar números grandes es fácil pero revertir esa operación es extremadamente difícil.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #1cifrado clave pública curvas elípticasoperación suma puntos curva elípticaproducto escalar alto francis villatoronúmero enorme chorizo de 256 bitscifrado curvas elípticas números enterosretículo discreto seguridad cifradocurvalística versión discreta curvanúmero primo enorme seguridad…enorme, con una enorme cantidad de dígitos decimales; semiprimo, para ser preciso, ¿no? En este caso es semiprimo porque es un producto, es un producto de dos primos, semiprimo o biprimo. Entonces, tengo este número muy largo: factorizarlo es muy difícil. Pues aquí ocurre algo parecido, cuando yo con la operación suma de puntos en la curva elíptica tomo un producto escalar muy alto, por ejemplo, 1000P, 100.000P; un número, un chorizo de 256 bits de número multiplicado por P es un número enorme, que tiene una cantidad enorme de dígitos, multiplicado por P. Ahora invertir ese número para saber cuál era P es muy difícil, es muy costoso. Entonces esa es la idea del cifrado con clave pública con curvas helísticas. Por supuesto, en el cifrado no se usan curvas elípticas en el plano con números reales, se utilizan números enteros; se utiliza básicamente ZP con P, un número primo, es decir, se trabaja con un retículo discreto y lo que llamo curvalística es una versión discreta de la curva, pero aquí por seguridad se trabaja con un número P enorme; no se trabaja con Z3 012 o con Z5 01234, sino que trabaja con un número primo que tiene también 256 dígitos en binario, un chorizón de número primo. entonces todo esto complica mucho el cálculo y cómo, entonces, es muy robusto, con 256 bits, el algoritmo descifrado de Bitcoin es prácticamente a día actual, es prácticamente imposible de descifrar, de criptoanalizar ¿Cómo se podría hacer esto con un…
Francis Villatoro explica la diferencia en los recursos necesarios para romper claves criptográficas usando RSA y el algoritmo de curvas elípticas, señalando que este último requiere significativamente más qubits.
Habla: Francis VillatoroSignificado #15 · Palabras #12algoritmo curvas elípticas necesita tripleclave bitcoin requiere qubits lógicosqubits físicos tienen enorme erroralgoritmos corrección errores necesarios…el algoritmo de curvas helísticas. La diferencia entre factorizar números primos y el algoritmo de logaritmo discreto es que si yo tengo que, digamos, criptoanalizar una clave con n bits, yo necesito, si es RSA, tengo que factorizar primos, necesito el doble en qubits, si es el algoritmo de curvas helísticas necesito el triple, con ese modo, ¿eh? Es decir, que si yo tengo una clave de 256 bits en Bitcoin, necesito como mínimo tres veces más qubits lógicos para poder descifrarla LIGO lógicos porque con físicos tienen un enorme error y entonces tengo que introducir algoritmos de corrección de errores Tener Una enorme cantidad de qubits físicos que aproximen cada qubit lógico. Por eso se estima que para descifrar y hackear Bitcoin necesitaré millones de qubits físicos con las tecnologías actuales, pues con 15 los han hecho estos chinos. Y claro, han multiplicado…
Francis Villatoro explica que 18 qubits no son suficientes para descifrar claves criptográficas complejas, especialmente cuando se utilizan algoritmos de curvas elípticas.
Habla: Francis VillatoroSignificado #6 · Palabras #7algoritmos curvas elípticas qubitsclaves criptográficas complejas qubitsdescifrar claves bits algoritmos…pero que cada vez que leamos un artículo de este tipo, en 320 segundos con 18 qubits. Bueno, con 18 qubits en 320 segundos, con toda seguridad es un algoritmo mixto que combina una parte clásica con una parte cuántica. Pero aún así, tu poder real está en los Qubits, 18 qubits no es nada, o sea, lo que puedes descifrar son claves de muy poquitos bits; no puedes descifrar una clave y con este tipo de algoritmos de curvas elípticas del orden de tres veces menos si tienes 18 unos, 6 en el caso óptimo y esto es. Lo que yo quería contar, déjame añadir un pequeño apunte de criptomonedas, bueno, o de Bitcoin en particular. En los medios que han tratado esto dicen que no pasaría nada porque ya se han pensado en mecanismos para sustituir la firma de claves elípticas por…
Francis Villatoro explica que las curvas observadas en el ordenador cuántico chino son ruido, siguiendo una ley de potencias esperada. A pesar de tener solo 32 ciclos de operación, simular este ruido a nivel clásico requeriría recursos computacionales enormes.
Habla: Francis VillatoroPalabras #18ruido cuántico ley potenciassimulación clásica qubits imposibilidadciclos operación cantidad estratosféricaordenador cuántico chino 83 qubits…interés, este tipo de artículos no tienen mayor interés que demostrar eso: demostrar que tienes una máquina que más o menos funciona. Entonces el artículo en Physical Review Letters utiliza los mismos algoritmos que ya habíamos visto en Psycamore y pues nada. Presenta que son unas curvas triviales, que es ruido. El ruido tiene una ley de potencias y ves que el ruido sigue la ley de potencias esperada, pero como es un ruido cuántico, si lo quieres simular a nivel clásico es algo imposible porque estamos hablando de 83 qubits, que es una barbaridad, aunque sean solamente 32 ciclos de operación, que es muy poquito, es suficiente para que se requieran cantidades estratosféricas de RAM y de años de trabajo del mayor superordenador del mundo ¿no? Aun así, esa es un poco la noticia, pero que Yo quería contextualizarla en el sentido de que ha habido algunas personas en redes sociales que han dicho, pues será este ordenador, este, este, el de China, el último, el último de China tiene que ser el ordenador del que hablaba este señor ahí en Vox…