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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoFrancis VillatoroJuan Carlos GilJosé EdelsteinHéctor SocasGastón Giribetnúmero imaginario multiplicación por sí mismounidad de los números imaginariosecuaciones sin solución en realesnúmeros imaginarios unidad imaginariacardinalidad similar a números realesraíces de números negativosnúmeros complejos parte realnúmeros reales multiplicados unidad imaginariapropiedades de números complejos multiplicaciónnúmeros complejos como vectoresespacio vectorial de dos dimensionesmultiplicación en números complejoshector socas explica números complejosHéctor Socasecuación de SchrödingerJuan Carlos GilJosé EdelsteinCuantaFrancis Villatoromatrices 2x2Gastón GiribetJuan CarlosLuisaGirolamo Cardanosiglo XVILe Luthier
Números imaginarios unidad imaginaria
Ep546: Cafeína; Cuántica y Números Complejos; Altruismo y Ética; Supernova
19 de febrero de 202614 momentos
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Héctor Socas continúa explicando cómo se construyen los números imaginarios a partir de la unidad imaginaria, describiendo un conjunto con propiedades similares a los números reales.
…¿Y qué son los números complejos? Pues decía yo, la ecuación está x cuadrado igual a menos 1, sabemos que el menos 1 no tiene una raíz cuadrada, no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de menos 1, no hay ningún número real que cumpla eso. entonces uno puede decir, bueno, imaginemos que hay un número que no es real, lo llamamos imaginario, por lo que sea, pues un número imaginario tal que al multiplicarlo por sí mismo de menos uno ese número no está entre los reales pero vamos a suponer que existe y esa es la unidad de los números imaginarios y a partir de ahí yo puedo construir números imaginarios multiplicando un número real Por esa unidad imaginaria. Entonces, ahí tengo toda una serie de números, todo un conjunto de números que tiene la misma cardinalidad que el de los reales, pero que son números que tienen esta propiedad, de que son solución de estas raíces de números negativos y luego los números complejos. Se construyen simplemente sumando un número real con uno de estos números imaginarios. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria; hasta aquí todo bien. Se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar; tienen todas esas propiedades y ¿qué pasa? Que un número complejo en realidad uno lo puede ver como un par de números reales. Un número complejo tiene una parte real que es un número real y una parte imaginaria que es otro número real multiplicado por la unidad imaginaria, entonces yo los puedo ver como un par de números. Como si fueran vectores de dos componentes donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, y además funciona bien porque yo puedo sumar números complejos y se comporta igual que cuando sumo vectores; puedo incluso definir una multiplicación, puedo definir un espacio vectorial de dos dimensiones con pares de números reales, un espacio vectorial real de dimensión 2 que funcione exactamente igual que los números complejos, los que yo pueda sumar, pueda hacer multiplicaciones y se cumplan las mismas reglas. Entonces esto ha sido muy útil; hay toda una matemática de los números complejos y José, creo que además precisamente cuando nos deja en programas como el de hoy es porque se va justamente a enseñarle números complejos a sus estudiantes. Así que todo esto lo…
Significado #1 · Palabras #1
Héctor Socas continúa explicando cómo se construyen los números imaginarios a partir de la unidad imaginaria, describiendo un conjunto con propiedades similares a los números reales.
Habla: Héctor SocasSignificado #1 · Palabras #1número imaginario multiplicación por sí mismounidad de los números imaginariosecuaciones sin solución en realesnúmeros imaginarios unidad imaginariacardinalidad similar a números realesraíces de números negativosnúmeros complejos parte realnúmeros reales multiplicados unidad imaginariapropiedades de números complejos multiplicaciónnúmeros complejos como vectoresespacio vectorial de dos dimensionesmultiplicación en números complejoshector socas explica números complejos…¿Y qué son los números complejos? Pues decía yo, la ecuación está x cuadrado igual a menos 1, sabemos que el menos 1 no tiene una raíz cuadrada, no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de menos 1, no hay ningún número real que cumpla eso. entonces uno puede decir, bueno, imaginemos que hay un número que no es real, lo llamamos imaginario, por lo que sea, pues un número imaginario tal que al multiplicarlo por sí mismo de menos uno ese número no está entre los reales pero vamos a suponer que existe y esa es la unidad de los números imaginarios y a partir de ahí yo puedo construir números imaginarios multiplicando un número real Por esa unidad imaginaria. Entonces, ahí tengo toda una serie de números, todo un conjunto de números que tiene la misma cardinalidad que el de los reales, pero que son números que tienen esta propiedad, de que son solución de estas raíces de números negativos y luego los números complejos. Se construyen simplemente sumando un número real con uno de estos números imaginarios. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria; hasta aquí todo bien. Se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar; tienen todas esas propiedades y ¿qué pasa? Que un número complejo en realidad uno lo puede ver como un par de números reales. Un número complejo tiene una parte real que es un número real y una parte imaginaria que es otro número real multiplicado por la unidad imaginaria, entonces yo los puedo ver como un par de números. Como si fueran vectores de dos componentes donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, y además funciona bien porque yo puedo sumar números complejos y se comporta igual que cuando sumo vectores; puedo incluso definir una multiplicación, puedo definir un espacio vectorial de dos dimensiones con pares de números reales, un espacio vectorial real de dimensión 2 que funcione exactamente igual que los números complejos, los que yo pueda sumar, pueda hacer multiplicaciones y se cumplan las mismas reglas. Entonces esto ha sido muy útil; hay toda una matemática de los números complejos y José, creo que además precisamente cuando nos deja en programas como el de hoy es porque se va justamente a enseñarle números complejos a sus estudiantes. Así que todo esto lo…
Héctor Socas explica cómo la mecánica cuántica utiliza los números complejos, específicamente la unidad imaginaria 'i', en su formulación inicial, como se observa en la ecuación de Schrödinger.
Habla: Héctor SocasSignificado #5 · Palabras #4ecuación de schrödinger en realesunidad imaginaria en mecánica cuánticahamiltoniano en ecuación de schrödinger…pero al final uno termina volviendo al plano real con sus resultados después de haberse ido al mundo complejo para hacer los cálculos intermedios. Entonces son como una herramienta que permite facilitar muchos cálculos y trabajar y resolver muchos problemas. y aquí es donde entra la mecánica cuántica, resulta que las formulaciones que se hicieron de la mecánica cuántica desde el principio si pensamos en la ecuación de Schrodinger vemos que en una parte está el hamiltoniano y en otra parte está la derivada del vector de estado pero hay una i multiplicando a i, esa i es la unidad imaginaria. La ecuación de Schrodinger ya tiene una mezcla de números reales y complejos. La función de onda de la ecuación de Schrodinger es una función compleja. Las formulaciones de la mecánica cuántica, tanto la de la matricial como la de Brass y Ketz funcionan con…
Héctor Socas reflexiona sobre si el uso de números complejos en física es fundamental o simplemente facilita los cálculos. Menciona que este debate se ve influenciado por la narrativa mística a veces asociada con la mecánica cuántica.
Habla: Héctor SocasSignificado #9 · Palabras #13números complejos en físicafacilidad de cálculo con schrödingermística de la mecánica cuánticanarrativa popular de la mecánica cuántica…par de números reales, puede considerarlo como un vector y de hecho todas estas formulaciones se pueden hacer si uno sustituye esa álgebra compleja por operaciones en un espacio vectorial de dimensión el doble de la dimensión del original, con números reales. Entonces, bueno, parecía que como que no era muy fundamental, sino más bien lo de la facilidad de cálculo. Pero ese debate siempre había estado un poco como ahí de fondo, ¿no? Porque además esto se presta mucho a la mística esta de la mecánica cuántica, ¿no? Porque ya cuando hablamos de que no se necesitan números imaginarios, el lenguaje también entra dentro de la narrativa esta que populariza a veces la mecánica cuántica como algo un poco esotérico, ¿no? pero bueno, aparte de eso, ciñándonos a lo más físico, sí que existe un cierto debate legítimo y en 2021 salió un artículo en Nature que fue bastante importante y además que uno de los autores, bueno de hecho, el autor de correspondencia se llama Miguel…
José Edelstein continúa la discusión sobre el uso de números complejos en física cuántica, ejemplificando con la solución a ecuaciones sin respuesta como hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI.
Habla: José EdelsteinSignificado #13girolamo cardano siglo xvinúmero complejo elevado al cuadradocuerpo de números complejosfunciones derivadas integrales ciencia…yo arranco comentando, como tú lo dijiste, que la ecuación X cuadrado más 1 igual a 0 es una ecuación insultantemente simple y entonces el hecho de que no tenga solución nos enfrenta a dos posibilidades, o resignarnos y decir, pues, ¿qué le vamos a hacer? La vida es así de cruel, o lo que hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI, que fue decir: pues, venga, si no la hay, la pongo yo, la creo yo. Y es un número que se llama i, que elevado al cuadrado a menos uno y luego cuando uno empieza con ese número a preguntarse ¿puedo multiplicar ese número por un número real? ¿Puedo sumarlo a un número real? Y uno empieza a jugar algebraicamente con eso, se da cuenta de que los números complejos estructuran algo que se llama cuerpo, que tiene una serie de propiedades: suma, multiplicación, inverso, elemento neutro, bueno, exactamente igual que los números reales y por lo tanto cuando uno aprende funciones derivadas integrales, todo lo que uno aprende en una carrera científica o técnica. Si uno va a la primera clase o segunda clase de esas materias, de la materia en la cual uno aprende a derivar, a integrar, etcétera, análisis, uno ve que lo que necesita para poder desarrollar un análisis es un cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas…
José Edelstein argumenta que los números reales son una simplificación de los números complejos, comparándolos con cómo los números naturales son una sombra de los números reales.
Habla: José EdelsteinSignificado #18números reales sombra de números complejosecuación algebraica con números complejos…complejos tienen una estructura como cuerpo mucho más noble, por así decirlo, que los números reales; cuando uno lo aprende, y yo digo esto en clase, si uno tiene una mentalidad un poco matemática en la cual sospecha que el universo se va a aprovechar de Aquellas cosas que son elegantes y robustas uno no tiene ninguna, yo diría; acá puede ser que, no sé si, creo que ni Gastón ni Francis se van a oponer a esto, pero que la matemática está, la realidad está escrita en números complejos, o sea los números reales son una sombra de números complejos, como los números naturales son una sombra de números reales, pero los números complejos son, no solo permiten resolver cualquier ecuación algebraica como bien decías, sino que además son la forma en la cual se escribe naturalmente todo prácticamente. Dicho esto y perdón que me alargo, pero es que como me voy a ir, digo. Todo bien. Alárgate todo lo que quieras. Largo todo mi rollo. Dicho esto, uno siempre puede deshacer todo y duplicando las dimensiones, sí es cierto. Pero es cierto que a medida que uno va avanzando en el tipo de operaciones que uno va realizando, cada vez es…
José Edelstein explica cómo la unidad mínima de información en un sistema complejo, un qubit, utiliza números complejos para representar una superposición de valores.
Habla: José EdelsteinSignificado #10qubit unidad mínima informaciónnúmeros complejos superposición de valoresespacio de dos planos complejoscuatro grados de libertad qubit…cuántica y lo adaptas para que te dé lo mismo, lo vas a poder hacer, pero eso mucha gracia no tiene porque creo yo en mi opinión: porque en realidad si tú dices vamos a fiarnos de los números reales, empiezas a llegar a conclusiones erróneas muy rápidamente. Pongo un ejemplo muy simple, que es un qubit, la unidad mínima de información que guarda un sistema complejo, algo que tiene dos valores, como el 0-1 binario, pero que todos han escuchado hablar que en la mecánica cuántica uno puede tener una superposición del 0 y 1, y los números que multiplican al 0 y al 1 en esa superposición son números complejos, por lo tanto un qubit vive, habita naturalmente un espacio que es el de dos planos complejos, el plano complejo al cuadrado, tiene cuatro grados de libertad, dos qubits independientes, bueno tienen ocho, porque son cuatro más cuatro ocho, que en el fondo es multiplicar por dos los dos que tiene cada qubit, dos por dos cuatro, pero como es un número complejo lo duplico y me da ocho. Si uno arranca de entrada con variable real y diciendo que el qubit tiene 4 grados de libertad, cuando pongo 2 qubits lo que te lleva naturalmente es decir 4x4 es 16, que no es el número real de los grados de libertad. Claro, si uno ya sabe que no te tiene…
José Edelstein explica por qué considera que el número pi no existe, argumentando que tiene infinitos decimales, pero a la vez reconoce su presencia en cálculos geométricos.
Habla: José EdelsteinSignificado #17número pi infinitos decimalescircunferencia perímetro diámetro piespacio euclidio perimetro circunferenciaecuación x al cuadrado más 1…uno puede plantearse, o sea, yo estoy muy confortable en un universo que está descrito por números complejos, muy muy confortable e incluso creo que cuando, si uno se pusiera un poco pesado con el tema, uno podría decir, bueno, es que el número pi no existe. ¿Por qué no existe? A ver, escríbelo. Ah, no, es que no lo puedo escribir porque tiene infinitos decimales. Ah, eso es lo que estoy diciendo. Sin embargo, toda circunferencia en el espacio Euclidio su perímetro dividido el diámetro da pi. Y acá es lo mismo, el número i no existe. No sé, escribe x al cuadrado más 1 igual a 0. Ya está, ahí está el número i escrito. Pero es que el espacio euclidio tampoco existe, y me callo el audio. No hay más que hablar, Señoría, la verdad es que, José, después de esta intervención yo creo que has sentado totalmente. Pero ahora yo voy a estar en contra. No, no, yo voy a estar ni en contra ni a favor porque tengo una pregunta en realidad. A mí también.…
Gastón Giribet explica cómo se pueden simular números complejos utilizando operadores reales en matrices, refiriéndose a un punto planteado anteriormente por José Edelstein sobre las matrices 2x2.
Habla: Gastón GiribetSignificado #8 · Palabras #8matrices 2x2 de josé edelsteinoperador real cuadrado menos unoestructura algebraica isomorfa a números complejosnúmeros imaginarios en matrices reales…las afirmaciones, pero pasando la palabra compleja real, ¿eso me da lo mismo? La respuesta es no. ¿Cómo lo veo con este experimento? Que lo realice alguien. Y luego se realizó. Y el resultado de eso le da la razón a la versión de los números complejos. Claro. Análisis subsecuentes pueden decir: ah, pero también si mantengo los números reales, pero agrego un operador que en realidad el cuadrado sea menos uno, pero es un operador real. Entonces sí puedo, bueno, maestro, sí, claro. O sea, ¿por qué? Porque hay que entender muy bien qué significa escribir. Si yo multiplico matrices con números reales, nunca menciono la i, ni la palabra imaginario, ni la palabra complejo en mi vida. Hago matrices con números imaginarios, pero son matrices que son un número menos un número, o sea, a menos b, b, a, son todos reales. Pero si yo multiplico esa matriz, es lo mismo que multiplicar la i, es lo que decía José antes, cuando dijo las matrices 2x2. Entonces, no estoy usando un número complejo, mentira maestro, estás usando una estructura algebraica isomorfa y el número complejo es esa entidad algebraica subyacente, no la. Forma en la que a vos se te ocurre escribirla. Entonces estás usando números complejos solamente que he escrito con matrices porque esto es un retardado, pero es la i de toda la vida, no la llamaste i, la llamaste matriz, pero al cuadrado te da menos uno,…
José Edelstein, tras una discusión sobre la utilidad de los números complejos en física, expresa su asombro por el hecho de que solo se puedan medir números reales, a pesar de que la realidad parece estar descrita con números complejos.
Habla: José EdelsteinSignificado #6 · Palabras #10números imaginarios son realesrealidad descrita con números complejosmedir solo números reales jose edelsteincódigo de máquina y realidad física…vez que necesito y no me siento cómodo con esta estructura. Bueno, todo parece indicar que los números complejos son, en ese sentido, necesarios. Cuando se discute en esto, me recuerdo un artículo de Cuanta del 2023 que hacía un chiste, algo así como... experimentos muestran que los números imaginarios son reales, o son una realidad de la cuantía, o algo así. Esos chistes que estamos haciendo acá, la gente lo publica y cobra. Me tengo que ir ya, pero quería comentar que para mí en realidad el mayor misterio es por qué a pesar de que la realidad está escrita con números complejos, solo podemos medir números reales y no aparecen, no se cuelan, es como si hubiera un código de máquina y luego lo que podemos ver que no es exactamente el mismo código de máquina. a mí eso me parece mucho más cercano a algo que me resulta misterioso que a los números complejos a La duda, o sea, pensemos que además no solo cuando la gente hace este tipo de disquisiciones sobre la cuántica agarra la ecuación de Schrödinger o agarra, no sé, el computador; las formulaciones de la mecánica cuántica no relativista iniciales y juega con…
Tras despedir a Luisa, Héctor Socas y Francis Villatoro continúan la tertulia, proponiendo una nueva ronda para aclarar algunos puntos que quizás no quedaron del todo claros en las discusiones previas sobre números complejos.
Habla: Francis VillatoroPalabras #9números complejos parte realconstruir con números complejospunto clave de lo que…del experimento de Bell que he oído, así que enhorabuena. Muchas gracias, chicas, chicos. También la despedimos, que también se tenía que ir más o menos ya, así que aprovechamos; gracias Luisa. Gracias a vosotros. Hasta la próxima. No abuses el café. Y nada, pues seguimos nosotros entonces. Podemos seguir la ronda si quieren, Francis, Juan Carlos. Y bueno, quizás aquí aclarar un par de cuestiones que no sé si han quedado claras con todo lo que se ha dicho antes, muchas cosas. Si es cierto que obviamente si los números complejos tienen parte real y parte imaginaria yo puedo construirlo todo utilizando números complejos. Aquí el punto clave es el punto de lo que. En mecánica cuántica se llaman axiomas, formulación axiomática de la mecánica cuántica, que lo que Newton llamaba leyes de la física. En mecánica cuántica no le llamamos leyes, pero son las leyes de la cuántica; entonces el estado de un sistema físico se…
Juan Carlos Gil reflexiona sobre la naturaleza de los números reales y su relación con la realidad física, comparándolos con conceptos cuánticos como la superposición y el entrelazamiento.
Habla: Juan Carlos GilSignificado #4números complejos en mecánica cuánticaconstructos matemáticos jose edelsteinaproximaciones homininos limitadosexistencia de pi en circunferenciasnúmeros reales y realidad físicacontinuidad de números realessuperposición cuántica juan carlos gil…es un tensor, porque ha aumentado la dimensionalidad Yo un comentario perpendicular, hablando de vectores, porque no puedo seguir ni me atrevo a hablar, que la belleza de lo que ha contado José me ha dejado anodadado, pero me resulta curioso que debatamos si La mecánica cuántica necesita números complejos y sin embargo nadie, por lo menos en los últimos dos siglos, se cuestione si la física clásica necesita los números reales o no ¿vale? También decía José, ¿existe el número pi o no? Ambos quizás sean constructos matemáticos, simplemente, que nos vienen bien, pero que no haya nada ontológicamente puro detrás, sino que son aproximaciones que hacemos porque somos meros homininos limitados y utilizamos las matemáticas, que es a lo que llegamos. Pero exactamente esa es la clave de la discusión filosófica ¿no? Porque o sea, esto es filosófico, no es científico, pero creo que es más molesto, o sea, el número pi, como decía José, tiene una existencia en la realidad que está ahí, o sea, desde el momento que hay una circunferencia, ahí está pi, mientras que el número i no está en ningún sitio, no existe en el mundo como algo que... Pero la continuidad de los números reales, nadie, yo no he visto ¿entendéis lo que quiero decir?, que los números reales son perfectamente continuos, están perfectamente ordenados; eso no tiene una representación física con la que nadie interactúe todos los días, desde ese punto de vista casi tan alienígena como la superposición o el entrelazamiento. Es una buena observación, pero no es que la gente no se lo ha preguntado, por ejemplo, en los finales… Lo he dicho en los dos últimos siglos, a lo mejor antes… No, no, no, pero es una muy buena observación; uno podría decir, a ver, desde el comienzo del siglo…
Héctor Socas continúa la discusión sobre la presencia de números complejos en la realidad física, retomando un comentario previo de José Edelstein y planteando la paradoja de por qué no son directamente observables.
Habla: Héctor SocasSignificado #19números complejos en la realidad físicaobservabilidad de números reales en cuánticaparadoja de los números complejos escondidosprobabilidades reales según gastón giribet…del grupo. Así que si efectivamente interno sería el producto escalar. Así que una cosa que me vale para corregir esta conversación, claro, la otra cara de la moneda, José también lo planteaba: si aceptamos entonces como normal que los números complejos. están entre nosotros y que la realidad, la estructura de la realidad de alguna forma subyacente está hecha de números complejos si están entre nosotros, ¿por qué no los vemos? Como decía Le Luthier, ¿por qué se escuenden? ¿Por qué no se mostran? Porque al final, incluso en la cuántica, al final lo observable son números reales, las probabilidades son números reales, decía Gastón. Entonces es como que da la impresión, creo que era Francis el que lo decía, como que hay una capa Subyacente de engranajes internos que está fuera de nuestro alcance, fuera de nuestra capacidad de observar, que opera en engranajes complejos y que al final nos presenta a nosotros una pantalla de números reales. Y Einstein pensaba que había otra por debajo…
Francis Villatoro explica la relación entre números reales y algoritmos, comparando la imposibilidad de calcular un número real aleatorio con la existencia de más números reales que algoritmos calculables.
Habla: Francis VillatoroSignificado #14números reales no calculablesalgoritmos numerables versus realescantidad despreciable de números realesfrancis villatoro y números reales…es la fractalidad, todo lo que en los sistemas caóticos es un comportamiento en ciertas proyecciones veo fractales. Lo llamaban dragones, Francis, dragones eran, ¿no? Dragones son objetos monstruosos, pero son objetos que uno puede como tratar de evitar, ¿no? Es igual que los números reales, los números reales, si tú coges aleatoriamente un número real, no es calculable; es imposible de calcular, porque los algoritmos que calculan números son numerables y los reales son no numerables. Entonces hay más reales que algoritmos, entonces solo puedo calcular una cantidad numerable de números reales: una cantidad despreciable. Claro, completamente despreciable, de medida nula en todos los números; los que yo puedo calcular, pero sin embargo, todo lo construyo solo con esos. Poquitos números, de hecho con una cantidad finita de números, nuestros ordenadores trabajan con cantidades finitas de números, una cantidad finita, muy pequeñita de números, y con eso lo calculo todo y no en ningún momento he hecho falta números, ¿no?…
Francis Villatoro explica una diferencia clave en cómo se manejan los qubits en algoritmos cuánticos cuando se utilizan números complejos versus cuando se intenta trabajar con mecánica cuántica real.
Habla: Francis VillatoroSignificado #16 · Palabras #6números complejos en algoritmos cuánticosqubits con números complejosparte real e imaginaria de cubicentrelazamiento información parte real imaginariatrilero moviendo números complejosparte imaginaria en algoritmos cuánticosparte real en desarrollo de algoritmofrancis villatoro y trilero…que comentábamos en última instancia que era ese producto tensorial. Tengo que hacer un producto tensorial especial que equivale a esto, a ir etiquetando o desetiquetando esas parejitas de cubis para saber cuál ahora es el físico, cuál ahora es el auxiliar. porque en el algoritmo cuántico no se mantiene eternamente que lo que yo inicialmente puse como físico y inicialmente como auxiliar reales pase. Y eso no ocurre cuando trabajo con números complejos, porque con números complejos aplico directamente sobre el cubic, sobre su parte real e imaginaria y juego con ellas como si no hubiera ningún problema. es decir, es como si la información entre comillas que contiene la parte imaginaria y la información que contiene la parte real se pueden entrelazar, se pueden mezclar durante el Algoritmo y tengo que estar; es como el trilero que te mueve la bola entre los cubiletes. Tienes que estar constantemente pendiente de a dónde se ha ido la parte imaginaria, a dónde se ha ido la parte real y eso pues te complica mucho el desarrollo del algoritmo, entonces. Hacer computación cuántica con mecánica cuántica real, pues es extremadamente engorroso y no se lo deseo a ningún estudiante de informática. En el refranero español sería hacer pan con unas tortas; lo de duplicar los cubis, ¿para qué? Bueno, muy bien, puedes,…