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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoFrancis VillatoroJuan Carlos GilJosé EdelsteinHéctor SocasGastón Giribetintegral de feynman sin números complejosleyes de la naturaleza y relatividadmecánica cuántica relativistanúmeros complejos en teoría cuánticamatriz al cuadrado menos unouniverso escrito en números complejosIntegral de FeynmanRelatividadTeoría cuántica de camposJosé EdelsteinHéctor SocasNatureMiguel NavasquezBarcelonaAustriaSuizaGastón GiribetErwin Schrödingerecuación de SchrödingerSchrödingerBrassKetzEspacio de HilbertMatriz densidadMecánica cuánticaNúmeros realesNúmeros complejosPedro Barrios Itaesfera de BlobFrancis VillatoroJuan Carlos GilLe Luthier
Números complejos en teoría cuántica
Ep546: Cafeína; Cuántica y Números Complejos; Altruismo y Ética; Supernova
19 de febrero de 202614 momentos
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José Edelstein continúa la discusión sobre la necesidad de utilizar números complejos en física, argumentando que incluso al intentar evitar su uso, se recurre a formulaciones antinaturales.
…las formulaciones de la mecánica cuántica no relativista iniciales y juega con eso, hace jueguitos con eso, pero es que luego la mecánica cuántica tiene la formulación de Feynman que funciona, que en ese sentido es correcta, y que no sé, escribir la. Integral de Feynman sin números complejos, retorciendo todo seguramente es posible, pero es muy antinatural; y luego recordemos que cuando uno incluye una ley de la naturaleza como es la relatividad, o sea que la mecánica cuántica tiene que ser relativista para que tenga su teoría coherente consigo misma, te ves obligado al final ir a la teoría cuántica de Campos. En cierto sentido es la teoría fundamental detrás de todo esto; pues vete a hacer tu teoría cuántica de Campos sin números complejos. O sea, nuevamente, seguramente agarrando un libro de teoría cuántica de Campos y con toda la paciencia del mundo, paso a paso, retorciendo todo para no meterla ahí, pero a costa de meter una matriz que al cuadrado da menos uno. O sea, los números complejos son... ¿Dios escribió el universo en números complejos? Se tienen que ir, José y Luisa. Me voy a hablar de este tema. Me voy a hablar de números complejos. Ahora voy a ir; van a estar todos los estudiantes diciéndome: ¿Para qué nos enseñas esto que es prescindible? Hay un paper 2024 que lo dice. Diles que te…
Palabras #1
Héctor Socas introduce un tema que llevaba tiempo queriendo tratar: el papel de los números complejos en la mecánica cuántica, anticipando que podría generar una conversación extensa.
Habla: Héctor SocasSignificado #6números complejos en mecánica cuánticaconversación extensa números complejoshéctór socas introducción números complejos…Gastón se nos suma para la cara B, es doctor en ciencias físicas y profesor en la Universidad de Nueva York. Y vamos a ir rapidito porque José anda con un poco de prisa y yo quiero aprovechar que los tengo aquí a todo el comité cuántico de Coffee Break. Bueno, para sacar un tema que la verdad es que yo llevaba tiempo que lo quería traer, pero bueno, entre una cosa y otra y que además supongo que es algo que va a dar para bastante conversación o quizás no; quizás me sorprende y esto se despacha en cinco minutos, pero estas cosas a veces suelen dar para bastante conversación y quería pues tener algún día que tuviéramos un slot bastante largo para dedicarle, ¿no? Y es sobre como yo adelantaba en la introducción el papel que juegan los números complejos en la mecánica cuántica. Si me permiten que haga una pequeña introducción para los oyentes antes de que me imagino que ustedes vayan a llevar el nivel a un nivel que a lo mejor ni yo lo pueda seguir, pero por lo menos por introducir cuál es el problema del que vamos a hablar; resulta que hay una... Bueno, vamos a empezar por los números complejos, ¿no? Saben que los números complejos se introducen en matemáticas porque creo que es en el siglo XVII, de hecho, o XVIII por ahí históricamente, como una forma de resolver o de dar solución a las ecuaciones…
Héctor Socas plantea una duda sobre si el uso de números complejos es esencial en mecánica cuántica o solo facilita los cálculos.
Habla: Héctor SocasSignificado #2 · Palabras #7ecuación de schrödinger números complejosfunción de onda ecuación de schrödingercoeficientes complejos mecánica cuánticaprobabilidades reales módulo al cuadradonúmeros complejos en mecánica cuánticasustitución de números complejos por realesespacio vectorial de dimensión dobleálgebra compleja y operaciones vectorialesnúmeros complejos en físicafacilidad de cálculo con schrödingermística de la mecánica cuánticanarrativa popular de la mecánica cuánticaartículo nature miguel navasquezmecanica cuántica formulación complejaequivalente real doble dimensiónnúmeros complejos fundamentales mecánica cuánticamecánica cuántica con números realesartículos pedro barrios itadebate números complejos mecánica cuánticainvestigador español pedro barrios ita…se hicieron de la mecánica cuántica desde el principio si pensamos en la ecuación de Schrodinger vemos que en una parte está el hamiltoniano y en otra parte está la derivada del vector de estado pero hay una i multiplicando a i, esa i es la unidad imaginaria. La ecuación de Schrodinger ya tiene una mezcla de números reales y complejos. La función de onda de la ecuación de Schrodinger es una función compleja. Las formulaciones de la mecánica cuántica, tanto la de la matricial como la de Brass y Ketz funcionan con coeficientes complejos O sea, está como, todas las formulaciones que se hicieron de la mecánica cuántica originalmente se hacían con números complejos Aunque luego al final, todos los resultados que se obtienen cuando tú calculas una probabilidad de medida son probabilidades, son reales porque al final es el módulo al cuadrado de los coeficientes y eso es un número real. Entonces al final tú te quedas con números reales pero todo el cálculo subyacente es con complejos. Entonces, está un poco la duda, existió de ahí siempre sobre si el uso de números complejos es algo fundamental en la mecánica cuántica o es simplemente algo que nos facilita el cálculo; porque uno puede, como yo decía antes, un número complejo lo puede sustituir por un par de números reales, puede considerarlo como un vector y de hecho todas estas formulaciones se pueden hacer si uno sustituye esa álgebra compleja por operaciones en un espacio vectorial de dimensión el doble de la dimensión del original, con números reales. Entonces, bueno, parecía que como que no era muy fundamental, sino más bien lo de la facilidad de cálculo. Pero ese debate siempre había estado un poco como ahí de fondo, ¿no? Porque además esto se presta mucho a la mística esta de la mecánica cuántica, ¿no? Porque ya cuando hablamos de que no se necesitan números imaginarios, el lenguaje también entra dentro de la narrativa esta que populariza a veces la mecánica cuántica como algo un poco esotérico, ¿no? pero bueno, aparte de eso, ciñándonos a lo más físico, sí que existe un cierto debate legítimo y en 2021 salió un artículo en Nature que fue bastante importante y además que uno de los autores, bueno de hecho, el autor de correspondencia se llama Miguel Navasquez, es español y algunas de las afiliaciones son de Barcelona, también de Austria y de Suiza pero este artículo en 2021 llegaba a la conclusión planteando lo típico, una serie de experimentos mentales de que hay situaciones en las que no se puede reproducir lo que te da la mecánica cuántica en su formulación compleja utilizando un equivalente real con el doble de dimensión y eso indicaría que realmente los números complejos son algo fundamental en la mecánica cuántica, o sea que hay cosas que no se pueden, que no da el mismo resultado, digamos una teoría real, una teoría basada en números reales que la teoría de números complejos. Y resulta que a finales del año pasado salieron un par de artículos; además, uno de ellos también liderado como primer autor, tenía también un investigador español que se llama Pedro Barrios Ita y estos dos artículos que responden al artículo 2021 diciendo lo contrario, que efectivamente sí que se puede plantear una mecánica cuántica con números reales y el doble de dimensión al formular la teoría. Entonces, ese es un poco el debate que existe ahora mismo, que yo creo que no está del todo asentado, pero que estos son los papers científicos que ponen en contexto a la situación actual de este debate sobre si realmente los números complejos son algo necesario y fundamental a la mecánica cuántica. Y ahora es cuando yo digo, bueno, y ahora pongo esto ahí sobre la mesa, quizás vamos a empezar por José, que es el que se tiene que ir antes, y dinos tu opinión, José, sobre este debate. Sí, a mí el paper de Nature me gustó mucho, pero bueno, quiero hacer un comentario previo, digamos, un poco que se superpone con tu presentación, pero brevemente. Yo cuando doy el curso, que justamente cuando termine dentro de 20 minutos me tengo que marchar,…
José Edelstein reflexiona sobre la posibilidad de reescribir los axiomas de la mecánica cuántica utilizando números reales, considerando el potencial aumento en las dimensiones necesarias para replicar los resultados.
Habla: José EdelsteinPalabras #9axiomas de la mecánica cuántica realesdimensiones en mecánica cuánticareescribir axiomas con números realesespacio de hilbert y estados…hacer lo que hizo Stuckelberger, que creo yo que, bueno, no me leí en detalle el paper Stuckelberger, pero entiendo que este trabajo no refute ese trabajo, sino que lo que uno puede intentar refutar es, si es posible, con los axiomas de la mecánica cuántica. Espacio de Hilbert, estados, o matriz densidad. Bueno, todo lo que es los axiomas de la mecánica cuántica, si yo ahí paso de números complejos a números reales en los axiomas y me permito, como los reales al menos tienen el doble de dimensiones que los complejos, me permito el número de dimensiones reservármelo por si necesito incluso más dimensiones que esto. ¿Puedo reproducir todos los resultados de la mecánica cuántica? Y lo que muestra este trabajo es que no, y es bellísimo la forma en la que lo muestra, porque utiliza un experimento tipo Bell. Pero incluso un poquito más complejo que el de Bell, porque utiliza tres observadores con dos pares de qubits entrelazados. Igual…
Gastón Giribet explica que un grupo en Nature, en un artículo publicado en noviembre de 2021, respondió a una pregunta sobre si pasar de números complejos a reales manteniendo los axiomas de la mecánica cuántica da el mismo resultado.
Habla: Gastón GiribetPalabras #18números complejos reales en naturepaper de nature noviembre 2021experimento confirma números complejos…restringe más: ir de los complejos a los reales siempre tiene que dejar otra cosa constante, porque si no, el juego no está definido; es decir, ¿puedo hacer algo con los reales pero cambiar todo lo demás abruptamente? Bueno, pero esa es una pregunta distinta. La pregunta, la explicó bien José; los tipos de este paper de Nature de noviembre del 2021 dijeron, dejando los axiomas de la mecánica cuántica como son, mutatis mutandis, porque hay que hacer una sutileza en las afirmaciones, pero pasando la palabra compleja real, ¿eso me da lo mismo? La respuesta es no. ¿Cómo lo veo con este experimento? Que lo realice alguien. Y luego se realizó. Y el resultado de eso le da la razón a la versión de los números complejos. Claro. Análisis subsecuentes pueden decir: ah, pero también si mantengo los números reales, pero agrego un operador que en realidad el cuadrado sea menos uno, pero es un operador real. Entonces sí puedo, bueno, maestro, sí, claro. O sea, ¿por qué? Porque hay que…
Gastón Giribet explica que el uso de números complejos es fundamental para describir fenómenos cuánticos y aclara que no se trata de una preferencia personal, sino de una cuestión práctica relacionada con la eficiencia y compatibilidad con los experimentos.
Habla: Gastón GiribetSignificado #4 · Palabras #12ecuación de schrödinger en realesschrödinger y su ecuación complejanúmeros complejos en física cuántica…al cuadrado que lo traigo de afuera. Bueno, claro, si empezás a poner demasiada estructura de afuera, sí, podés hacer casi cualquier estupidez. Pero la pregunta es: ¿cuál es la forma más natural, más escueta, compatible con los experimentos de describir esto? Es con números complejos, no reales; complejos no necesariamente reales. Ahora también es importante entender de dónde surge la pregunta, que es muy natural y que de hecho desveló a los padres de la mecánica cuántica. El mismo Schrödinger intentó escribir su ecuación en términos de dos ecuaciones reales: ¿le molestaban los números complejos? No, le molestaba la necesidad de ellos. ¿Y por qué? Porque la física tiene tres instancias, tres relaciones con los números complejos. Todos los resultados de la física, los resultados observables, son números reales; porque vienen en términos de probabilidades, incluso en la cuántica. Cuando yo digo, a ver,…
Gastón Giribet explica cómo se utilizan los números complejos en la mecánica cuántica para obtener resultados reales, destacando su importancia más allá de ser simplemente una herramienta conveniente.
Habla: Gastón GiribetSignificado #3 · Palabras #5números complejos en física cuánticacálculo de probabilidad número realgastón giribet números complejosnúmeros complejos en mecánica cuánticafunción de onda compleja integradaresultados reales desde números complejoscomodidad física de números complejos…la cuántica. Cuando yo digo, a ver, ¿qué probabilidad? Le digo al último eslabón en la cadena de un experimentalista: ¿Qué número tenés que darte? Le vas a dar un número real. La probabilidad de encontrar el electrón en tal estado es 14%. Entonces, está eso. Que la expresión final de un resultado físico siempre es en términos reales. Eso no quiere decir que los cálculos intermedios para llegar a él no hayan demandado, no solamente podido ser posible, sino exigido el cálculo a través de números que son complejos; porque en mecánica cuántica, cuando uno calcula la probabilidad, que repito, siempre va a ser un número real y Positivo, primero eleva al cuadrado una función de onda que es complejo y la integra en todo el espacio. Entonces, necesitó el número complejo para producir ese número real. ¿Y por qué es importante esto? Porque los números complejos hasta la mecánica cuántica habían sido para los físicos solamente una comodidad, lo que es una incomodidad para el estudiante, pero para el físico es una comodidad, por ejemplo cuando uno resuelve circuitos eléctricos. Muchas veces para no andar trabajando con senos y cosenos que son molestos, uno escribe la corriente como si fuera un número complejo. Obviamente, la corriente no es un número complejo; son un montón de electrones pasando por un cable, pero la escribe como…
Gastón Giribet explica que los números complejos son fundamentales en diversos campos de la física, desde la óptica hasta la electricidad, y que su uso va más allá de una simple comodidad de cálculo, siendo incluso una exigencia del formalismo en mecánica cuántica.
Habla: Gastón GiribetSignificado #5números complejos en físicaformalismo en mecánica cuánticaresonancia sistema simple mecánica…la difracción o la interferencia, con exponenciales complejas. Es mucho más cómodo porque usar cosenos y senos hay que acordarse que el seno de A más B es igual al coseno. Puede hacerlo pero es mucho más fácil. A último momento uno toma la parte real de todo. Entonces, en la física los números complejos son ubicuos, o sea, están en la óptica, en la electricidad, en un montón de cosas. Ahora, es más cuando calcula resonancia el sistema simple de mecánica, pero al final del día uno siempre entendía que era una comodidad de cálculo. Ahora, mecánica cuántica es más que una comodidad de cálculo, es una exigencia del formalismo. Bueno, eso es lo que se pone en tela de juicio. Al menos la pregunta. Es natural, porque es la primera vez que necesito y no me siento cómodo con esta estructura. Bueno, todo parece indicar que los números complejos son, en ese sentido, necesarios. Cuando se discute en esto, me recuerdo un artículo de Cuanta del 2023 que hacía…
José Edelstein continúa la discusión sobre la necesidad de utilizar números complejos en física, argumentando que incluso al intentar evitar su uso, se recurre a formulaciones antinaturales.
Habla: José EdelsteinPalabras #1integral de feynman sin números complejosleyes de la naturaleza y relatividadmecánica cuántica relativistanúmeros complejos en teoría cuánticamatriz al cuadrado menos unouniverso escrito en números complejos…las formulaciones de la mecánica cuántica no relativista iniciales y juega con eso, hace jueguitos con eso, pero es que luego la mecánica cuántica tiene la formulación de Feynman que funciona, que en ese sentido es correcta, y que no sé, escribir la. Integral de Feynman sin números complejos, retorciendo todo seguramente es posible, pero es muy antinatural; y luego recordemos que cuando uno incluye una ley de la naturaleza como es la relatividad, o sea que la mecánica cuántica tiene que ser relativista para que tenga su teoría coherente consigo misma, te ves obligado al final ir a la teoría cuántica de Campos. En cierto sentido es la teoría fundamental detrás de todo esto; pues vete a hacer tu teoría cuántica de Campos sin números complejos. O sea, nuevamente, seguramente agarrando un libro de teoría cuántica de Campos y con toda la paciencia del mundo, paso a paso, retorciendo todo para no meterla ahí, pero a costa de meter una matriz que al cuadrado da menos uno. O sea, los números complejos son... ¿Dios escribió el universo en números complejos? Se tienen que ir, José y Luisa. Me voy a hablar de este tema. Me voy a hablar de números complejos. Ahora voy a ir; van a estar todos los estudiantes diciéndome: ¿Para qué nos enseñas esto que es prescindible? Hay un paper 2024 que lo dice. Diles que te…
Francis Villatoro explica que combinar sistemas cuánticos no puede hacerse directamente, sino con un método sutil para que el resultado coincida con la mecánica cuántica compleja.
Habla: Francis VillatoroSignificado #13combinación de sistemas cuánticosmétodo sutil para mecánica cuánticasustitución imaginaria matriz 2x2números complejos en física cuánticademostración de josé edelstein…producto editorial modificado. Uno de los artículos últimos es el de gran etiquetado. Yo etiqueto los espacios de Hilbert, añado una cierta... Entonces tengo que jugar con las etiquetas y combinarlas de manera adecuada en función de lo que estoy combinando. entonces cuando yo combino sus sistemas no puedo pegarlos a lo bruto sino que tengo que hacerlo de la manera sutil y adecuada para que el resultado final coincida con el de la mecánica cuántica, compleja, puedo hacerlo, es decir, no es imposible hacerlo pero si es muy engorroso y es lo que comentaba también en última instancia Gastón, eso de sustituir la imaginaria con una matriz 2x2 pues siempre lo puedo hacer pero es mucho más engorroso en las formulaciones conforme más avanzas en física cuántica usar los números complejos es lo más natural y en la línea de lo que decía José, José ahí ha demostrado que está Influido por Penrose, Penrose tiene un libro que se llama The Road to Reality, El Camino de la Realidad y es un libro gordo de petete, tiene como mil páginas o más de mil páginas, mil y cien páginas y ese libro lo único que dice, bueno, dice dos cosas.…
Juan Carlos Gil, influenciado por los comentarios de José Edelstein sobre la belleza de los conceptos discutidos, plantea una reflexión filosófica sobre la necesidad de números reales y complejos en física.
Habla: Juan Carlos GilSignificado #14números complejos en mecánica cuánticaconstructos matemáticos jose edelsteinaproximaciones homininos limitadosexistencia de pi en circunferencias…es un tensor, porque ha aumentado la dimensionalidad Yo un comentario perpendicular, hablando de vectores, porque no puedo seguir ni me atrevo a hablar, que la belleza de lo que ha contado José me ha dejado anodadado, pero me resulta curioso que debatamos si La mecánica cuántica necesita números complejos y sin embargo nadie, por lo menos en los últimos dos siglos, se cuestione si la física clásica necesita los números reales o no ¿vale? También decía José, ¿existe el número pi o no? Ambos quizás sean constructos matemáticos, simplemente, que nos vienen bien, pero que no haya nada ontológicamente puro detrás, sino que son aproximaciones que hacemos porque somos meros homininos limitados y utilizamos las matemáticas, que es a lo que llegamos. Pero exactamente esa es la clave de la discusión filosófica ¿no? Porque o sea, esto es filosófico, no es científico, pero creo que es más molesto, o sea, el número pi, como decía José, tiene una existencia en la realidad que está ahí, o sea, desde el momento que hay una circunferencia, ahí está pi, mientras que el número i no está en ningún sitio, no existe en el mundo como algo que... Pero la continuidad de los números reales, nadie, yo no he visto ¿entendéis lo que quiero decir?, que los números reales son perfectamente continuos, están perfectamente ordenados; eso no tiene una representación física con la que nadie interactúe todos los…
Héctor Socas continúa la discusión sobre la presencia de números complejos en la realidad física, retomando un comentario previo de José Edelstein y planteando la paradoja de por qué no son directamente observables.
Habla: Héctor SocasSignificado #17números complejos en la realidad físicaobservabilidad de números reales en cuánticaparadoja de los números complejos escondidosprobabilidades reales según gastón giribet…del grupo. Así que si efectivamente interno sería el producto escalar. Así que una cosa que me vale para corregir esta conversación, claro, la otra cara de la moneda, José también lo planteaba: si aceptamos entonces como normal que los números complejos. están entre nosotros y que la realidad, la estructura de la realidad de alguna forma subyacente está hecha de números complejos si están entre nosotros, ¿por qué no los vemos? Como decía Le Luthier, ¿por qué se escuenden? ¿Por qué no se mostran? Porque al final, incluso en la cuántica, al final lo observable son números reales, las probabilidades son números reales, decía Gastón. Entonces es como que da la impresión, creo que era Francis el que lo decía, como que hay una capa Subyacente de engranajes internos que está fuera de nuestro alcance, fuera de nuestra capacidad de observar, que opera en engranajes complejos y que al final nos presenta a nosotros una pantalla de números reales. Y Einstein pensaba que había otra por debajo…
Héctor Socas y Gastón Giribet discuten la posibilidad de formular una física cuántica basada en números reales, contrastándola con el uso de números complejos.
Habla: Héctor SocasSignificado #8 · Palabras #8física cuántica basada en realescuántica real sosa aburrida feanúmeros complejos en física…con esas dos materias. Bueno, perdón por este... Yo diría teoría de grupos, pero será porque no sé suficiente relatividad. Teoría de grupos es una teoría de grupos, pero también tiene mucho de geometría y mucha relación con los números complejos también. Bueno, entonces la conclusión viene a ser algo así como que existe quizás formas de formular una cuántica real, pero es sosa, aburrida y fea. ¿La realidad será compleja o no será? Innecesariamente complicada, sí. ¿Ya los números son complejos o para hacerlo más complicado? Por ejemplo, no sé si lo sabéis, bueno, supongo que lo sabréis. Existen interpretaciones de la mecánica clásica y una de ellas es la interpretación que asume que los números en la mecánica no pueden ser reales, porque los números reales no existen. Los números reales no existen, ni siquiera los podemos calcular; entonces…
Héctor Socas cierra la tertulia expresando su fascinación por la discrepancia entre el uso natural de números complejos en las teorías físicas y su aparente ausencia en las observaciones del mundo real.
Habla: Héctor SocasSignificado #10números complejos en teorías físicasdisociación mundo observable y números complejosqubit según héctor socasqubit descrito por números complejosmecánica cuántica real necesita qubits auxiliares…no sabía de esa formulación que ha dicho Francis; la buscaré, y me ha gustado el paralelismo con la computación, porque al fin y al cabo los números los hacemos con ordenadores, entonces acercarnos de esa forma, con esa formulación me ha parecido ingeniosa. Bueno, pues yo me doy por satisfecho. ¿Queda algo más que comentar?, alguna conclusión, alguna reflexión final. A mí, no sé, me sigue pareciendo intrigante el hecho de esa disociación entre el funcionamiento interno de la naturaleza, si asumimos que funciona como nuestras teorías, en la que los números complejos aparecen de forma tan natural, pero luego parece que en lo que nosotros observamos en el mundo observable no parecen estar presentes o al menos no de una forma identificable, no tanto como pi. Si queréis os menciono para acabar el tema de los qubits, un qubit. Por naturaleza está descrito por dos números reales que son dos ángulos en una esfera, la esfera de Blob; es decir, es un número complejo. Un qubit necesariamente tiene que tener una descripción con números complejos. Cuando yo paso a una mecánica cuántica real, el qubit lo tengo que convertir en dos qubits: un qubit al que llamo físico y un qubit al que llamo auxiliar, en inglés, ancillary. Es un qubit auxiliar. Claro, eso es muy fácil, ¿vale? Es sencillo, ¿no? Cada qubit lo convierto en dos. Pero, ¿qué pasa cuando tengo muchos qubits? Y cuando estoy aplicando un algoritmo cuántico sobre un grupo de qubits, yo que sea 8 qubits, en mecánica cuántica real tengo los 8…
Francis Villatoro explica una diferencia clave en cómo se manejan los qubits en algoritmos cuánticos cuando se utilizan números complejos versus cuando se intenta trabajar con mecánica cuántica real.
Habla: Francis VillatoroSignificado #11 · Palabras #13números complejos en algoritmos cuánticosqubits con números complejosparte real e imaginaria de cubicentrelazamiento información parte real imaginaria…que comentábamos en última instancia que era ese producto tensorial. Tengo que hacer un producto tensorial especial que equivale a esto, a ir etiquetando o desetiquetando esas parejitas de cubis para saber cuál ahora es el físico, cuál ahora es el auxiliar. porque en el algoritmo cuántico no se mantiene eternamente que lo que yo inicialmente puse como físico y inicialmente como auxiliar reales pase. Y eso no ocurre cuando trabajo con números complejos, porque con números complejos aplico directamente sobre el cubic, sobre su parte real e imaginaria y juego con ellas como si no hubiera ningún problema. es decir, es como si la información entre comillas que contiene la parte imaginaria y la información que contiene la parte real se pueden entrelazar, se pueden mezclar durante el Algoritmo y tengo que estar; es como el trilero que te mueve la bola entre los cubiletes. Tienes que estar constantemente pendiente de a dónde se ha ido la parte imaginaria, a dónde se ha ido la parte real y eso pues te complica mucho el desarrollo del…