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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoBorja TosarFrancis VillatoroHéctor SocasGastón Giribetgeometría combinatoria álgebra de cuerposproblema planteado por erdősartículo original de ernestproducción anual de artículos ernestErnestGeometría CombinatoriaÁlgebra de CuerposFrancis VillatoroOpenAIGPT 5.6 Prox² + y² = 1ÁlgebraConjeturaErdősEulerRaíz cuadrada de 2Inteligencia Artificialx al cuadrado más y cuadrado igual a 1Números EnterosAnilloCuerpoNúmeros Racionalescuerpos CMraíz cuadrada de 3raíz cuadrada de 21Scott Aronson
Geometría combinatoria Álgebra de Cuerpos
Ep560: OVNIs; Cetáceos; Sag A*; IA en Matemáticas; Arqueoastronomía Solar
28 de mayo de 20266 momentos
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Francis Villatoro explica cómo se propuso mezclar la geometría combinatoria con álgebra de cuerpos para resolver el problema planteado por Erdős, una idea que ya estaba presente en el artículo original de Ernest pero no está claramente expresada.
…su aparente sencillez de un halo de extrema complejidad; entonces eso ha hecho que este problema haya sido un problema especialmente llamativo a nivel de redes sociales y a nivel de grandes matemáticos cuando ha sido resuelto con la inteligencia artificial. Una de las ideas que se habían propuesto para este problema era una idea que es estándar, sobre todo a partir del siglo XXI; a partir del año 2000, hay trabajos muy importantes en 2010, 2012: es el tema de mezclar esta geometría combinatoria con álgebra de cuerpos. Esa idea está en el artículo original de Ernest, lo que pasa es que está un poco escondida, no está clara, no está bien expresada. Ya os digo que este tipo de artículos, Ernest producía muchos artículos; en esa época podía llegar a producir 20 artículos anuales, que en matemáticas eso es una barbaridad, es una barbaridad. Entonces, muchos estaban escritos con un estilo que hoy en día lo mismo no lo aceptaríamos en muchas revistas con ese estilo. Una de las ideas es, porque claro, aquí estamos hablando de distancia euclídea, ¿vale? O sea, la distancia euclídea básicamente es x al cuadrado más y al cuadrado, y al cuadrado, raíz cuadrado, esa es la distancia Entonces para encontrar las distancias yo…
Significado #1 · Palabras #1
Francis Villatoro explica cómo Erdős reintrodujo repetidamente un problema aparentemente sencillo, que ahora se considera un desafío importante dentro del campo de la geometría combinatoria.
Habla: Francis VillatoroSignificado #8 · Palabras #4problema erdős geometría combinatoriaerdős reintrodujo problema sencillodoctorado geometría combinatoria demuestra problematécnicas nuevas problemas geometría combinatoriaartículos publicados problema erdős…que es un ejemplo muy bueno. Muy bueno porque el exponente es uno más, repito, del orden de el uno partido del logaritmo del logaritmo de n. Y entonces conjetura que es uno más, pues algo muy pequeño, algo despreciable, algo que es prácticamente uno, ¿vale? N elevado a uno. Entonces, ¿qué pasó con este problema al que varias veces ha reentrado Erdős en su carrera? Y es que este problema, que parece muy sencillo de describir, se ha ido convirtiendo en un problema rodeado de un cierto aura de que en este campo de investigación en el que se enmarca, que es la geometría combinatoria, se ha convertido como el gran problema de la geometría combinatoria. Es decir, prácticamente todo el mundo que hace un doctorado en geometría combinatoria trata de demostrar este problema; desarrolla nuevas técnicas, nuevas cosas, nuevas maneras de ver este tipo de problemas, y se lo voy a probar con este problema de ERDIS. Entonces es un problema bastante trabajado en el que hay bastantes artículos que se han publicado durante mucho tiempo, y lo que ha permeado el campo. Es que ese ejemplo que nos pone Erdős en 1946 es prácticamente el mejor ejemplo conocido. Se ha tratado en varios artículos de modificar, de perturbar esa distribución de puntos, pero no se ha logrado mejorar ese orden asintótico de 1 partido logaritmo de…
Francis Villatoro explica cómo se propuso mezclar la geometría combinatoria con álgebra de cuerpos para resolver el problema planteado por Erdős, una idea que ya estaba presente en el artículo original de Ernest pero no está claramente expresada.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #1geometría combinatoria álgebra de cuerposproblema planteado por erdősartículo original de ernestproducción anual de artículos ernest…su aparente sencillez de un halo de extrema complejidad; entonces eso ha hecho que este problema haya sido un problema especialmente llamativo a nivel de redes sociales y a nivel de grandes matemáticos cuando ha sido resuelto con la inteligencia artificial. Una de las ideas que se habían propuesto para este problema era una idea que es estándar, sobre todo a partir del siglo XXI; a partir del año 2000, hay trabajos muy importantes en 2010, 2012: es el tema de mezclar esta geometría combinatoria con álgebra de cuerpos. Esa idea está en el artículo original de Ernest, lo que pasa es que está un poco escondida, no está clara, no está bien expresada. Ya os digo que este tipo de artículos, Ernest producía muchos artículos; en esa época podía llegar a producir 20 artículos anuales, que en matemáticas eso es una barbaridad, es una barbaridad. Entonces, muchos estaban escritos con un estilo que hoy en día lo mismo no lo aceptaríamos en muchas revistas con ese estilo. Una de las ideas es, porque claro, aquí estamos hablando de distancia euclídea, ¿vale? O sea, la distancia euclídea básicamente es x al cuadrado más y al cuadrado, y al cuadrado, raíz cuadrado, esa es la distancia Entonces para encontrar las distancias yo…
Francis Villatoro explica cómo el uso de cuerpos matemáticos permite obtener múltiples soluciones a una ecuación y aprovechar propiedades algebraicas para estimar la cantidad de soluciones.
Habla: Francis VillatoroSignificado #3 · Palabras #7álgebra de cuerpos erdősnúmeros enteros anillo matemáticonúmeros racionales cuerpo matemáticodivisión en números racionalescuerpos matemáticos con números racionaleseuler y cuerpos de números algebraicosraíz cuadrada de 2 en cuerposnúmeros primos relativos entre sícuerpos matemáticos soluciones ecuaciónsoluciones racionales reales limitadafrancis villatoro cuerpos matemáticoscuerpos cm complexificación multiplicaciónunidad imaginaria en cuerpos cmraíz cuadrada de tres cuerpos cmexpresión irracional cuerpos cmmultiplicidad de soluciones cuerpos matemáticospropiedades algebraicas cuerposestimación cantidad de solucionesproblema geométrico formulación algebraicaconjetura imposible de demostrarfracaso de líneas de ataqueartículos geometría combinatoriainteligencia artificial estructura algebraicacuerpos factorización en idealestrabajo clave 2011 2012 francis villatoroideales representando distancias unitariasteoremas para contar elementos idealesfactorización de cuerpos no principalestraslación al mundo algebraico cuerpos…cuadrado O sea tienes que resolver la ecuación algebraica x al cuadrado más y al cuadrado igual a 1 En apariencia es una ecuación fácil de resolver en el plano pero la idea que usa Erdős y que otros matemáticos han tratado también de explotar es ¿por qué no ¿Uso un cuerpo de números racionales? Fijaros que los números enteros forman un anillo, yo puedo sumarlos y multiplicarlos pero no puedo dividir; si yo divido me salgo fuera de los enteros. Pero los racionales, que son cocientes de enteros, forman un cuerpo. Yo puedo dividirlo, obviamente no puedo dividir por cero, pero salvo dividir por cero, yo puedo sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales. Una cosa que yo puedo hacer para construir un cuerpo es considerar pares o tríos o tuplas con varios números racionales, por ejemplo, los cuerpos de números algebraicos que ya introdujo en su momento Euler hace siglos Las parejitas, por ejemplo, x más y por la raíz cuadrada de 2. Esos números, si x y y son racionales, forman un cuerpo. Y yo puedo utilizar, por ejemplo, raíces cuadradas de números primos. yo puedo tomar, pongamos cuatro números primos, el 3, el 5, vamos a poner un número que sea mi primo, el 15 y el 21, tomo estos cuatro números que son primos relativos entre sí y puedo construir los números A más B por la raíz cuadrada de 3 más C por la raíz cuadrada de 5 más D por la raíz cuadrada del 15 más E por la raíz cuadrada del 21, ¿vale? Si son los mismos cuatro números que yo dije. Este tipo de construcción nos permite obtener un cuerpo en el que yo puedo trabajar teniendo muchas soluciones de la ecuación x al cuadrado más y cuadrado igual a 1. Porque esa creación en los racionales y en los reales tiene solamente dos soluciones, el 1 y el menos 1. El 1 y el menos 1 elevado al cuadrado me da 1 y son dos soluciones. Pero en un cuerpo Así extendido, estos cuerpos se llaman cuerpos CM. Se refiere básicamente a una especie de complexificación por multiplicación. Es decir, yo estoy usando la multiplicación compleja que utilizo con la unidad imaginaria, pero no la estoy usando con la unidad imaginaria; la estoy usando con una expresión irracional como puede ser la raíz cuadrada de 3 o como puede ser la raíz cuadrada de 21. entonces, usando ese tipo de cuerpos lo que se observa es que yo tengo una multiplicidad de soluciones de la ecuación x al cuadrado más y al cuadrado igual a 1, y esa multiplicidad de soluciones me permite aprovechar propiedades estrictamente algebraicas de los cuerpos para determinar una estimación de la cantidad de soluciones que yo tengo, que multiplicado por el número de puntos me dará la cantidad de posibles, el número máximo de distancias unitarias que yo tengo en mi problema. Es decir, yo puedo formular un problema puramente geométrico, de geometría combinatoria; lo puedo formular con un problema puramente algebraico y entonces esa aproximación ha sido propuesta ya en varios artículos y se han hecho cosas pero en la línea de atacar el demostrar esta conjetura que hoy ya sabemos que era imposible de demostrar, esas líneas de ataque fracasaron y tienen que fracasar. Es obvio: hoy sabemos que fracasaron y sabemos por qué tienen que fracasar; esa conjetura es falsa, pero los que lo hicieron no se dieron cuenta y focalizaron ese trabajo. Pero ese trabajo, los resultados más importantes son esos de 2011, 2012; hay dos resultados clave en esa línea. Y es ese trabajo el que ha combinado la inteligencia artificial. En cierto sentido, lo que los humanos estaban haciendo era utilizar esta estructura algebraica que extiende los puntos que están en el plano y los convierte en una especie de objetos abstractos que se encuentran en un cuerpo. Estos cuerpos se pueden factorizar en ideales y se puede Hacer que haya unos ideales que representen, entre comillas, el número de distancias unitarias que tengo en mi problema. Entonces, puedo utilizar teoremas que me cuentan cuántos elementos tienen los ideales, que no necesariamente son principales; muchos de ellos no son ideales principales que factorizan ese cuerpo, me permiten estimar este problema. Es decir, puedo hacer una especie de traslación al mundo algebraico de los cuerpos, de la teoría de cuerpos. La teoría de cuerpos para la gente joven que no está viendo es una cosa súper desconocida, pero para la gente que tiene mi edad o la de Héctor, pues lo estudiamos en EGB. En EGB nos obligaron a estudiar lo que era un cuerpo, lo que era un grupo, semigrupo,…
Francis Villatoro explica cómo la inteligencia artificial ha sorprendido a los matemáticos al ofrecer una solución a un problema específico.
Habla: Francis VillatoroSignificado #2 · Palabras #2inteligencia artificial sorprende matemáticosgeometría combinatoria álgebra de cuerposproblema específico técnica inteligencia artificialartículos famosos publicados línea…que tienen ahora; cuando lo saquen, no sé, lo sacarán en un mes o tres meses o cuatro meses; harán algo mejor, pero esto es lo que en el futuro será el 5.6 Pro. Lo han aplicado a este problema, pero de hecho lo han aplicado a todos los formas de disk, ¿vale? Y en este programa en concreto la inteligencia artificial ha ofrecido una solución que ha dejado alucinados a todos los matemáticos. En lugar de utilizar el camino que los pocos matemáticos que estaban trabajando con este tipo de técnica, porque recuerdo, hay que ser experto en geometría combinatoria y hay que ser experto en álgebra de cuerpos, que eso no todo el mundo lo es, pero los que han usado estas herramientas, que hay varios artículos famosos publicados en esa línea, habían atacado el problema desde el punto de vista perturbo los puntos y fijo el cuerpo y lo que se Le ocurre de manera sorprendente a la inteligencia artificial es hacer lo contrario. Hay teoremas que me hablan de las propiedades de las descomposiciones de cuerpos de forma genérica y yo puedo perturbar los cuerpos, no considerar cuerpos cuyas unidades. Yo…
Francis Villatoro explica cómo el uso de cuerpos adecuados con números primos enormes permite reducir una constante en un problema, pero se encuentra una barrera o 'plató' en el proceso.
Habla: Francis VillatoroSignificado #16cuerpos adecuados números primos erdősconstante problema erdős barrera platónúmero de lados unidad grafosinteligencia artificial exponente n1 epsilon…Un número primo de 200 dígitos y otro número primo de 300 dígitos. No importa porque los teoremas de la teoría de cuerpos que me permiten calcular la dimensión, el número, la cardinalidad de estos ideales, no les preocupa qué tamaño tengan los primos. Pero a la hora de calcular el numerito resulta que usando cuerpos adecuados de enorme contenido, contenidos son números primos enormes o coprimos enormes, se logra rebajar la constante del problema de Erdős, pero aparece un plató, aparece una barrera. El valor del exponente del número de lados unidad que hay en estos grafos con un número virtualmente infinito de puntos resulta ser n1 más un épsilon muy pequeño. Entonces eso es lo que descubre la inteligencia artificial. Descubre que no es verdad la conjetura de Ries. Descubre un contraejemplo formal. Aquí es una demostración de existencia. Lo que demuestra la inteligencia artificial es que existe al menos un contraejemplo de la conjetura de Erdős. Si tú utilizas un cuerpo…
Francis Villatoro explica cómo un problema matemático ha generado una coyuntura particular donde expertos en diferentes campos están aplicando una nueva idea para resolver otros problemas.
Habla: Francis VillatoroSignificado #18 · Palabras #14problema matemático genera coyunturaexpertos aplican nueva idea problemasgeometría combinatoria teoría codificaciónidea poderosa poco explotada…ningún sentido. O el problema P igual a NP, Scott Aronson, el famoso experto en complejidades cuánticos, hablando de que ya podrán atacar P distintos de NP, pero ¿qué estás hablando? No tiene ni pies de cabeza, ¿vale? Eso no tiene ni pies de cabeza, ¿vale? O sea, este problema ha dado la coyuntura particular y muy específica de que se ha encontrado una cosa que sorprendentemente cualquiera podría haber hecho y de hecho, repito, los expertos que dominan ambos campos ahora están empezando a demostrar otras cosas con la misma idea, porque es una idea muy poderosa y hay muchos problemas de geometría combinatoria, pero también de otras áreas, por ejemplo, de teoría de la codificación, etcétera, que se pueden atacar con esta idea: una idea muy bonita, muy poderosa y que no está prácticamente nada explotada; no se sabe por qué. Pero eso pasa a veces en matemáticas. Es como cuando descubres un nuevo objeto y no te habías dado cuenta que esta enana marrón, pues no era una enana marrón, sino que era una enana amarronada. Y ahora resulta que lo dices y de repente empiezas a decirlo y…