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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoJuan Carlos GilJosé EdelsteinFrancis VillatoroHéctor SocasGastón Giribetecuación navier stokes muy complejaderivadas primeras de la velocidadderivadas segundas de la velocidad viscosidadfluido cerca de gravitación tierraTierraGastón GiribetNavier StokesRegla de la cadenaFrancis VillatoroAtmósferaFefferman
Derivadas primeras De la velocidad
Con
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Gastón Giribet explica que, a pesar de simplificaciones, la ecuación de Navier-Stokes sigue siendo muy compleja debido a la presencia de derivadas de velocidad.
…funciones muy complicadas que reemplazan la ecuación de continuidad. Mi pregunta es terminológica: si eso se sigue llamando Navier-Stokes. Sí, se sigue llamando Navier Stock; una de ellas se sigue llamando Navier Stock, lo único que la otra condición cambia. Por supuesto, esto es muy complejo; es una ecuación muy compleja. No importa los detalles que dije antes, lo dije por completitud, por si alguien está siguiendo las ecuaciones, pero hay derivadas primeras de la velocidad, derivadas segundas de la velocidad en el término de viscosidad; es muy muy complejo. Y por otro lado dije que se puede poner el fluido en diferentes situaciones; se puede poner el fluido cerca de una región donde hay gravitación, por ejemplo acá en la Tierra donde hay gravedad y pongo un poco de fluido hasta el fondo porque hay gravedad o puedo pensar en una nube de hidrógeno que navega el universo temprano donde no hay gravedad prácticamente salvo la propia. Entonces hay muchas situaciones en las que uno puede poner Esto, pero también hay situaciones que son externas, son forzadas; por ejemplo, yo puedo tener una cubeta con agua pero encima ponerle una cuchara adentro y darle vueltas o poner una paleta dentro y moverla de adelante para atrás, de manera tal que encima…
Significado #1 · Palabras #1
Gastón Giribet continúa explicando los detalles de la ecuación de Navier-Stokes, enfocándose en cómo describe la aceleración local del fluido y su relación con el cambio en el campo de velocidad.
Habla: Gastón GiribetSignificado #2 · Palabras #2ecuación navier stokes describe velocidadvelocidad como vector en espacio tridimensionalatmósfera depende de posición espacialecuación navier stokes describe aceleracióncampo de velocidad cambia localmentevórtice giratorio como ejemploecuación navier stokes aceleración localcampo velocidades constante en situación estacionaria…escribe de la siguiente manera da cuenta de cuál es el campo de velocidades, por qué la palabra campo acá, es cómo son las velocidades en cada punto del fluido para dónde apunta y cuál es en cada punto del fluido, eso es lo que la ecuación de Enamil-Stokes da Por supuesto, la velocidad es un vector, porque te dice para dónde va, porque estamos hablando en el espacio tridimensional, por ejemplo, la atmósfera y encima depende de otro vector que es a qué punto te estás refiriendo; la velocidad del fluido o dónde, porque puede ser muy complejo el comportamiento de un fluido. Entonces la ecuación básicamente dice que la derivada respecto del tiempo, de la velocidad del fluido en ese punto, lo que localmente sería la aceleración local, que se escribe a su vez como la derivada explícita que el campo de velocidad puede cambiar, porque por ejemplo uno puede pensar en un vórtice que está girando pero. siempre está girando igual, es una situación estacionaria pero no estática y en ese caso el campo de velocidades es constante, pero eso no quiere decir que cada elemento de la velocidad no vaya cambiando. Entonces esa derivada respecto del tiempo, esa gran derivada respecto del tiempo se descompone en un término de la derivada explícita del tiempo más otro término que está dado por la derivada de la velocidad respecto a la posición multiplicada por la velocidad porque se usa la regla de la cadena, la derivada respecto de x por la derivada de x respecto del tiempo. Entonces, tiene un segundo. Término que es la velocidad multiplicada por su derivada, pero después del otro lado aparece la fuerza, porque como dice la ecuación de Newton, fuerza igual masa por aceleración. Acabamos de hablar de la aceleración, así que pasamos la masa dividiendo y por…
Gastón Giribet continúa explicando los detalles de la ecuación de Navier-Stokes, introduciendo el concepto de viscosidad y su representación matemática.
Habla: Gastón GiribetPalabras #12ecuación navier stokes coeficiente nuviscosidad representación matemática gastón giribet…cambia la presión en el espacio; eso también afecta a cómo se mueve el fluido, su propia presión o, mejor dicho, cómo la presión cambia en el tiempo. Y bueno, después hay otro término que tiene que ver con la viscosidad, que es un término muy complicado, que Básicamente es un coeficiente, un coeficiente con unidades, que se suele escribir como nu; en la forma en la que estoy escribiendo sería nu dividido la densidad de masa, porque la pasé dividiendo del otro lado, por un término que es la segunda derivada, más precisamente el laplaciano, de la velocidad. Cuando este último término falla, no está ahí, no porque falle, sino porque se lo desprecia, se lo desdeña, porque el fluido no es muy viscoso; esa ecuación se conoce como la ecuación de Euler, por Leonard Euler, el matemático, el famoso matemático y físico…
Gastón Giribet explica las limitaciones de la ecuación de Navier-Stokes en relación con la velocidad del fluido.
Habla: Gastón GiribetSignificado #5ecuación navier stokes limitacionesvelocidad del fluido límite superiorfluido velocidad luz ecuación…solución física; matemáticamente podemos hablar de lo que quieras, pero física a ciertas escalas lo suficientemente pequeñas, pero no tan pequeñas como para dejar de pensar esta masa de fluido como un fluido, ya no como una colección de unas pocas moléculas. Por otro lado, también sabemos que esta ecuación es una ecuación que va a dejar de valer a muy altas velocidades, porque a muy altas velocidades el fluido no puede adquirir una velocidad extremadamente alta, porque cuando el fluido tiene velocidades comparables a la velocidad de la luz, la ecuación. Cambia, empieza a adquirir correcciones relativistas que dan cuenta, por ejemplo, de que para que la velocidad siga aumentando hay una inyección de energía que tiene que tender a infinito. Hay correcciones relativistas a la ecuación de Navier-Stokes. Más aún,…
Gastón Giribet explica que, a pesar de simplificaciones, la ecuación de Navier-Stokes sigue siendo muy compleja debido a la presencia de derivadas de velocidad.
Habla: Gastón GiribetSignificado #1 · Palabras #1ecuación navier stokes muy complejaderivadas primeras de la velocidadderivadas segundas de la velocidad viscosidadfluido cerca de gravitación tierra…funciones muy complicadas que reemplazan la ecuación de continuidad. Mi pregunta es terminológica: si eso se sigue llamando Navier-Stokes. Sí, se sigue llamando Navier Stock; una de ellas se sigue llamando Navier Stock, lo único que la otra condición cambia. Por supuesto, esto es muy complejo; es una ecuación muy compleja. No importa los detalles que dije antes, lo dije por completitud, por si alguien está siguiendo las ecuaciones, pero hay derivadas primeras de la velocidad, derivadas segundas de la velocidad en el término de viscosidad; es muy muy complejo. Y por otro lado dije que se puede poner el fluido en diferentes situaciones; se puede poner el fluido cerca de una región donde hay gravitación, por ejemplo acá en la Tierra donde hay gravedad y pongo un poco de fluido hasta el fondo porque hay gravedad o puedo pensar en una nube de hidrógeno que navega el universo temprano donde no hay gravedad prácticamente salvo la propia. Entonces hay muchas situaciones en las que uno puede poner Esto, pero también hay situaciones que son externas, son forzadas; por ejemplo, yo puedo tener una cubeta con agua pero encima ponerle una cuchara adentro y darle vueltas o poner una paleta dentro y moverla de adelante para atrás, de manera tal que encima…
Gastón Giribet explica que si una simulación de fluidos muestra velocidades tendiendo a infinito, esto indica que la ecuación utilizada deja de ser válida debido a efectos relativistas.
Habla: Gastón GiribetSignificado #10ecuaciones diferenciales condiciones inicialesvelocidad tiende a infinito relativistasproblema para matemáticos ecuaciones diferencialescorrecciones relativistas ecuación de la luz…quiere decir que las leyes de la física se rompan, quiere decir que esa ley de la que estoy hablando deja de valer, por ejemplo. No sabemos que hay leyes que no son fundamentales, lo dijimos al principio, la ecuación de Navier-Stokes vale en cierto régimen. Si, por ejemplo, yo descubriera que sí, que en efecto, la velocidad de una parte del fluido de repente extiende a infinito, yo ya sé lo que pasa. Y bueno, a partir de cierto valor de la velocidad deja de valer esta ecuación porque se está acercando a la de la luz y la ecuación recibe correcciones relativistas y empieza a valer otra ecuación. Pero la pregunta estaba bien postulada porque es un problema muy importante para los matemáticos, muy interesante y difícil para los matemáticos; es el problema de condiciones iniciales o condiciones de contorno para ecuaciones diferenciales. Iniciales es en el tiempo, el contorno es en el espacio, pero básicamente es lo mismo; en algunos casos se habla mal y pronto de la misma manera la idea es si yo fijo ciertas Condiciones bien comportadas, si la misma dinámica de la evolución física me va a llevar a situaciones que no tienen sentido porque alguna cantidad física relevante diverge, eso es un problema abierto que luego se formuló de diferentes maneras; es el problema…
Francis Villatoro explica la formulación estándar para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes y cómo se esperaba que llevara al premio del milenio.
Habla: Francis VillatoroPalabras #16ecuaciones navier stokes premio milenioviscosidad presión fuerzas externasaceleración igualada a ceroformulacion estándar fefferman…La masa por aceleración es la fuerza, hay una densidad multiplicada por un operador de derivada que actúa como aceleración que actúa sobre la velocidad, sobre un pequeño volumen de fluido y eso lo igualo a las densidades de fuerza que tengo externas. Pero la formulación estándar de poner viscosidad, presión como fuerzas externas, pero no externas, incluida la interlocación y la derivada de la velocidad, es decir, la aceleración a un lado y lo igualo a cero, esa es la formulación estándar y es lo que todo el mundo pensaba que es, había que resolver para obtener el premio del milenio. Pero Feferman se le ocurrió la idea de añadir un Forzamiento, dijo, como no es verdad que nadie espera que una solución regular sin singularidades genere una singularidad, voy a proponer un caso en el que sí yo podría generar una singularidad: que es metiendo un forzamiento. Entonces yo meto un forzamiento,…
Francis Villatoro explica una alternativa para abordar el problema del milenio, proponiendo la introducción de un campo de fuerza o función de velocidad arbitraria en las ecuaciones de Navier-Stokes.
Habla: Francis VillatoroSignificado #13campo de fuerza en navier stokesfunción de velocidad arbitrariaecuaciones de navier stokes francis villatoro…una singularidad parece una cosa muy difícil pero hay una trampa que tiene esta formulación C y D, la formulación C es en el infinito en el R3 en el espacio abierto y la D es en contención de cotoroperiódica en el troide hay una trampa y la trampa es que Yo puedo, en lugar de plantearme, generar un campo de fuerza; si yo pongo una solución, una solución cualquiera, de hecho ni siquiera tiene que ser una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, una función cualquiera, un campo de velocidad cualquiera, lo meto en las ecuaciones de Navier-Stokes, en el miembro derecho. Y calculo los operadores diferenciales, obtengo una fuerza, un forzamiento. El forzamiento calculado en plan tramposo, como un truco, a partir de meter el campo de velocidades; de hecho, para un flujo incomprensible el campo de velocidades termina de forma…
Francis Villatoro explica que, tras un proceso iterativo de inyección de energía, se logra una velocidad infinita en el centro del campo, junto con la convergencia de sus derivadas hacia infinito.
Habla: Francis VillatoroSignificado #3 · Palabras #3convergencia de derivadas hacia infinitocampo de velocidad en el origensolución regular en tiempo finitonormalización del tiempo a la unidadblow-up con derivadas infinitasnormalización del tiempo de blow-upamplitud tiende a infinito velocidadespresión también tiende a infinito…Recordemos, son de soporte compacto, los chorros no llegan hasta infinito, llegan hasta una distancia finita. Entonces, esa distancia crece y con este mecanismo hecho infinitas veces, yo acabo logrando que la velocidad en el centro acabe siendo infinito. Pero uno dice, y tiene que haber una trampa; es decir, yo tenía una solución regular en tiempo finito, el tiempo finito se normaliza a la unidad; yo consigo que el campo de velocidad en el centro tenga no solo una velocidad que tiende a infinito, justo en el centro, en el origen, nada más; el resto de los puntos, los valores son infinitos, pero además consigo que todas las derivadas, el gradiente y todas las derivadas también tiendan a infinito. Es decir, es un blow-up verdadero, porque si solamente tengo amplitud que tiende a infinito, no tengo garantías de que las derivadas estén bien acotadas y podría haber, como yo estoy normalizando siempre el tiempo de blow-up a la unidad, yo podría falsear el asunto y ir haciendo que ese tiempo creciera, pero como lo normalizo siempre, no darme cuenta de que en realidad la amplitud tiende a infinito para las velocidades, no. Con el mecanismo que se propone, la velocidad y todas sus derivadas tienden a infinito, a la presión también Pero claro, este mecanismo tiene un gran problema, una de Las cosas que proponía Fefferman, Fefferman proponía en la versión C del problema un punto importante. La energía cinética tiene que ser finita; eso es un punto muy importante y muy difícil de lograr en este tipo de soluciones, pero claro, el secreto es que…
Francis Villatoro explica cómo la inyección de momento angular provoca una disminución de la energía cinética a medida que aumenta la velocidad.
Habla: Francis VillatoroSignificado #12inyección de momento angularenergía cinética disminuye con velocidadintegral campo al cuadrado norma velocidadvelocidad infinita energía cinética cerofrancis villatoro integral energía cinética…eso es un punto muy importante y muy difícil de lograr en este tipo de soluciones, pero claro, el secreto es que la energía cinética, como tengo un vórtice en el origen, es una función decreciente por la manera en la que yo estoy inyectando el momento. Angular es decir, la energía cinética que pasa de tener un valor constante conforme la velocidad crece, resulta que decrece. Esto parece un sin sentido, pero es una integral en la que evalúas el campo al cuadrado, la norma de la velocidad al cuadrado y calculas la integral y te da que su valor está reduciéndose. Entonces, cuando la velocidad se vuelve infinito, la energía cinética en el origen se vuelve cero. Más acotado que cero no hay. Y todo esto con un mecanismo que me garantiza que el campo de fuerza que estoy aplicando en todo momento es infinitamente diferenciable. Es decir, todo esto tiene una serie de ajustes finos; la idea es muy tonta, es un truco extremadamente trivial, es…