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Curvalística versión discreta curva
Ep 503: Propulsión Espacial; Computación Cuántica; Fusiones de Estrellas de Neutrones; Agujeros Negros
13 de marzo de 20256 momentos
Con
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Francis Villatoro explica cómo el cifrado con curvas elípticas se implementa utilizando números enteros y un retículo discreto para mayor seguridad.
…enorme, con una enorme cantidad de dígitos decimales; semiprimo, para ser preciso, ¿no? En este caso es semiprimo porque es un producto, es un producto de dos primos, semiprimo o biprimo. Entonces, tengo este número muy largo: factorizarlo es muy difícil. Pues aquí ocurre algo parecido, cuando yo con la operación suma de puntos en la curva elíptica tomo un producto escalar muy alto, por ejemplo, 1000P, 100.000P; un número, un chorizo de 256 bits de número multiplicado por P es un número enorme, que tiene una cantidad enorme de dígitos, multiplicado por P. Ahora invertir ese número para saber cuál era P es muy difícil, es muy costoso. Entonces esa es la idea del cifrado con clave pública con curvas helísticas. Por supuesto, en el cifrado no se usan curvas elípticas en el plano con números reales, se utilizan números enteros; se utiliza básicamente ZP con P, un número primo, es decir, se trabaja con un retículo discreto y lo que llamo curvalística es una versión discreta de la curva, pero aquí por seguridad se trabaja con un número P enorme; no se trabaja con Z3 012 o con Z5 01234, sino que trabaja con un número primo que tiene también 256 dígitos en binario, un chorizón de número primo. entonces todo esto complica mucho el cálculo y cómo, entonces, es muy robusto, con 256 bits, el algoritmo descifrado de Bitcoin es prácticamente a día actual, es prácticamente imposible de descifrar, de criptoanalizar ¿Cómo se podría hacer esto con un…
Significado #1 · Palabras #1
Francis Villatoro continúa explicando el concepto del cifrado con curvas elípticas, detallando las características matemáticas de estas curvas.
Habla: Francis VillatoroSignificado #3cifrado con curvas elípticasanalogías visuales francis villatoroforma manguito clips papelcurvas helísticas definidascifrado bitcoin curva helísticacurva elíptica producto de puntoscaracterísticas matemáticas curvas elípticas…con curvas elípticas. Una curva elíptica es una cosa que se parece, ¿acordáis esto de las pinzas para papel? Que son negras, que tienen una forma de triángulo y que tienen como dos, como un mango. Pues ese mango, la forma de ese mango es la forma de una. Curva elíptica, ¿vale? Una curva elíptica, si imaginamos en el plano, pues es una curva que baja en la parte positiva del plano. Tienes las ordenadas y las abscisas, el eje horizontal y el eje vertical. Baja, alcanza un mínimo, sube, tiene un máximo, vuelve a bajar y ahora cruza el eje X y abajo es completamente simétrica. Es como la forma del manguito ese de los clips estos de papel. Es parecido a los lazos que tienes en el fondo. Es parecido, lo que pasa es que no necesariamente se cruzan, normalmente no se cruzan. En las curvas elípticas cuando hay corte, lo que tienes es como un globo y después tienes la parte suave al lado, una especie de curva hiperbólica al lado. En las curvas helísticas básicamente son curvas definidas por un Polinomio en el plano que tiene la sisa, la coordenada vertical y cuadrado, igual a un polinomio cúbico en la coordenada horizontal. Yo qué sé, x al cubo más 7. La curva helística que se usa con Bitcoin, en el cifrado de Bitcoin, es y al cuadrado igual a x al cubo más 7. Es una curva extremadamente sencilla, y la curva elíptica tiene muchas propiedades, y una de ellas es que se puede definir una suma o producto, depende de cómo lo quieras llamar, una suma de puntos dentro de la curva. Yo puedo tomar dos puntos en la curva y puedo definir un nuevo punto al que llamo la suma de estos dos puntos. La idea es trazo una secante, una línea que pase por estos dos puntos y esa línea obligatoriamente me cortará a otro punto de la curva. Bien, pues ese otro punto de la curva no es la suma. La suma es la reflexión respecto a la línea horizontal, al eje X, de…
Francis Villatoro explica cómo el cifrado con curvas elípticas se implementa utilizando números enteros y un retículo discreto para mayor seguridad.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #1cifrado clave pública curvas elípticasoperación suma puntos curva elípticaproducto escalar alto francis villatoronúmero enorme chorizo de 256 bitscifrado curvas elípticas números enterosretículo discreto seguridad cifradocurvalística versión discreta curvanúmero primo enorme seguridad…enorme, con una enorme cantidad de dígitos decimales; semiprimo, para ser preciso, ¿no? En este caso es semiprimo porque es un producto, es un producto de dos primos, semiprimo o biprimo. Entonces, tengo este número muy largo: factorizarlo es muy difícil. Pues aquí ocurre algo parecido, cuando yo con la operación suma de puntos en la curva elíptica tomo un producto escalar muy alto, por ejemplo, 1000P, 100.000P; un número, un chorizo de 256 bits de número multiplicado por P es un número enorme, que tiene una cantidad enorme de dígitos, multiplicado por P. Ahora invertir ese número para saber cuál era P es muy difícil, es muy costoso. Entonces esa es la idea del cifrado con clave pública con curvas helísticas. Por supuesto, en el cifrado no se usan curvas elípticas en el plano con números reales, se utilizan números enteros; se utiliza básicamente ZP con P, un número primo, es decir, se trabaja con un retículo discreto y lo que llamo curvalística es una versión discreta de la curva, pero aquí por seguridad se trabaja con un número P enorme; no se trabaja con Z3 012 o con Z5 01234, sino que trabaja con un número primo que tiene también 256 dígitos en binario, un chorizón de número primo. entonces todo esto complica mucho el cálculo y cómo, entonces, es muy robusto, con 256 bits, el algoritmo descifrado de Bitcoin es prácticamente a día actual, es prácticamente imposible de descifrar, de criptoanalizar ¿Cómo se podría hacer esto con un…
Francis Villatoro explica la relación entre la factorización de números primos y el cálculo del logaritmo discreto en el contexto de la criptografía.
Habla: Francis VillatoroPalabras #2factorización números primos criptografíalogaritmo discreto algoritmo curvas helísticascriptoanálisis clave rsa n bits…imposible de descifrar, de criptoanalizar ¿Cómo se podría hacer esto con un ordenador cuántico? Como lo de lo cuántico, el famoso algoritmo de factorización de números primos de Peter Schor de 1994, es un algoritmo que incluía Peter Schor en su artículo. La factorización de números primos y el cálculo del logaritmo discreto. ¿Por qué? Porque el cálculo del logaritmo discreto es la herramienta básica para criptoanalizar el algoritmo de curvas helísticas. La diferencia entre factorizar números primos y el algoritmo de logaritmo discreto es que si yo tengo que, digamos, criptoanalizar una clave con n bits, yo necesito, si es RSA, tengo que factorizar primos, necesito el doble en qubits, si es el algoritmo de curvas helísticas necesito el triple, con ese modo, ¿eh? Es decir, que si yo tengo una clave de 256 bits en Bitcoin, necesito como mínimo tres veces más qubits lógicos para poder descifrarla LIGO lógicos porque con…
Francis Villatoro explica que 18 qubits no son suficientes para descifrar claves criptográficas complejas, especialmente cuando se utilizan algoritmos de curvas elípticas.
Habla: Francis VillatoroSignificado #19algoritmos curvas elípticas qubitsclaves criptográficas complejas qubitsdescifrar claves bits algoritmos…pero que cada vez que leamos un artículo de este tipo, en 320 segundos con 18 qubits. Bueno, con 18 qubits en 320 segundos, con toda seguridad es un algoritmo mixto que combina una parte clásica con una parte cuántica. Pero aún así, tu poder real está en los Qubits, 18 qubits no es nada, o sea, lo que puedes descifrar son claves de muy poquitos bits; no puedes descifrar una clave y con este tipo de algoritmos de curvas elípticas del orden de tres veces menos si tienes 18 unos, 6 en el caso óptimo y esto es. Lo que yo quería contar, déjame añadir un pequeño apunte de criptomonedas, bueno, o de Bitcoin en particular. En los medios que han tratado esto dicen que no pasaría nada porque ya se han pensado en mecanismos para sustituir la firma de claves elípticas por…
Gastón Giribet explica el concepto de curvatura utilizando un ejemplo sencillo con una esfera y su relación con la teoría general de la relatividad.
Habla: Gastón GiribetSignificado #4esfera ejemplo curvaturavector ecuador polo rotacióncurvatura infinitesimal relatividad generalholonomía infinitesimal lazo cero…más o menos dar una noción incluso sin recurrir en mucha matemática. Pero la teoría general de la relatividad... Cuando dices torcido te refieres como con una rotación...? No, claro, bueno, lo voy a explicar muy brevemente. ¿Qué quiere decir la curvatura? La curvatura es cuando yo tomo un vector y lo muevo paralelamente, lo voy transportando paralelamente a lo largo de un lazo cerrado pero no necesariamente cuando luego de ese lazo cerrado se cierra, cuando se concluye, volvió a ser el mismo vector que era originalmente Un ejemplo muy sencillo de esto es en una esfera, nosotros podemos pensar en trasladar un vector del ecuador paralelamente hacia el polo Luego trasladarlo por otro paralelo hacia el ecuador de vuelta y luego por el ecuador a su lugar original y vamos a ver que llegó rotado Entonces eso es porque justamente una esfera es una superficie curva La noción de curvatura de la relativa general en realidad se conoce como la curvatura infinitesimal Que es cuando este lazo tiende a cero, cuando este círculo cerrado tiende a cero a veces también llamado de una forma sofisticada holonomía infinitesimal. Ahora, la torsión es otra cosa: la torsión es cuando en un lazo cerrado el vector no solamente no llega a él mismo, sino que vuelve al mismo punto pero torcido; pero cuando un espacio encima está torcido, no solamente curvado, en un lazo cerrado no llega al…
Gastón Giribet explica cómo las correcciones cuadráticas a la curvatura en teorías de gravedad cuántica pueden generar problemas de causalidad, como curvas temporales cerradas y un Shapiro Time Delay negativo.
Habla: Gastón GiribetSignificado #13curvatura gravedad cuántica causalidadshapiro time delay negativoteoría cuerdas campos spin masivospatologías curvatura superior…las únicas consistentes matemáticamente? Las que no tienen problema de causalidad. Entonces lo que estudian en ese paper Maldacena, Sasha Sibodev, Jean Camaño, que es gallego muy simpático y José, es un... bueno, la amplitud de scattering de tres gravitones. A ver, digámoslo de esta manera: que si vos consideras correcciones cuadráticas a más alta curvatura y no consideras nada más que eso, porque la teoría de cuerdas predice aparte muchas otras cosas como campos de spin, de mayor spin, de mayor masa, entonces empezás a tener ciertos problemas de causalidad; es decir, podés generar curvas temporales cerradas. Hay lo que se llama un Shapiro Time Delay que es negativo y entonces para que la teoría sea consistente y no viole causalidad, lo que ellos muestran es que aparte de considerar correcciones cuadráticas en la curvatura, necesitas también considerar campos de spin muy masivos como la teoría de cuerdas predice, pero que si no pones esos no te arreglan las patologías que la sola inclusión de términos de curvatura superior introducirían. Es un poco una de las formas de entender ese paper, me parece un paper muy, muy bueno en su momento; es un paper muy, muy citado y bueno, es un paper muy famoso de Maldacena, de José Edelstein, de Sasha Zybedev, que es un ruso muy simpático que vivió en mi…