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Corriente eléctrica como Números complejos
Ep546: Cafeína; Cuántica y Números Complejos; Altruismo y Ética; Supernova
19 de febrero de 202613 momentos
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Gastón Giribet explica una técnica utilizada para simplificar cálculos en física, específicamente en el manejo de corrientes eléctricas.
…intermedios para llegar a él no hayan demandado, no solamente podido ser posible, sino exigido el cálculo a través de números que son complejos; porque en mecánica cuántica, cuando uno calcula la probabilidad, que repito, siempre va a ser un número real y Positivo, primero eleva al cuadrado una función de onda que es complejo y la integra en todo el espacio. Entonces, necesitó el número complejo para producir ese número real. ¿Y por qué es importante esto? Porque los números complejos hasta la mecánica cuántica habían sido para los físicos solamente una comodidad, lo que es una incomodidad para el estudiante, pero para el físico es una comodidad, por ejemplo cuando uno resuelve circuitos eléctricos. Muchas veces para no andar trabajando con senos y cosenos que son molestos, uno escribe la corriente como si fuera un número complejo. Obviamente, la corriente no es un número complejo; son un montón de electrones pasando por un cable, pero la escribe como número complejo porque le es más fácil operar con exponenciales complejas que con senozoides reales. Ahora, claro, al final del cálculo uno le toma la parte real. Lo mismo hace en óptica. Es muy fácil explicar fenómenos ondulatorios, muy sencillos, escolares, como la difracción o la interferencia, con exponenciales complejas. Es mucho más cómodo porque usar cosenos y senos hay que acordarse que el seno de A más B es…
Significado #1 · Palabras #1
Héctor Socas explica cómo los números complejos son una extensión más general de los números reales, permitiendo resolver ecuaciones algebraicas que no tienen solución en el dominio real.
Habla: Héctor SocasPalabras #12números complejos extensión números realesecuaciones algebraicas con números complejosdominio de números complejos…tú estás pensando en el dominio de los reales, hay ecuaciones algebraicas muy sencillas que no tienen una solución real; típicamente pues x cuadrado más 1 igual a cero, x cuadrado igual a menos 1. No existe ningún número real que satisfaga esa ecuación, ¿no? Entonces, se introducen los números complejos como una no una extensión, como algo más general que los números reales, que sí que, dentro del dominio de los números complejos, cualquier ecuación algebraica en la que se usen números complejos para los coeficientes y se considera el dominio de los números complejos, tiene. una solución que está dentro de los números complejos. Entonces nos quedamos más satisfechos porque el resultado se queda ahí dentro. ¿Y qué son los números complejos? Pues decía yo, la ecuación está x cuadrado igual a menos 1, sabemos que el menos 1 no tiene…
Héctor Socas explica cómo se construyen los números complejos sumando un número real con uno imaginario, destacando que poseen una parte real y otra imaginaria.
Habla: Héctor SocasSignificado #12 · Palabras #17números complejos parte realnúmeros reales multiplicados unidad imaginariapropiedades de números complejos multiplicación…ahí tengo toda una serie de números, todo un conjunto de números que tiene la misma cardinalidad que el de los reales, pero que son números que tienen esta propiedad, de que son solución de estas raíces de números negativos y luego los números complejos. Se construyen simplemente sumando un número real con uno de estos números imaginarios. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria; hasta aquí todo bien. Se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar; tienen todas esas propiedades y ¿qué pasa? Que un número complejo en realidad uno lo puede ver como un par de números reales. Un número complejo tiene una parte real que es un número real y una parte imaginaria que es otro número real multiplicado por la unidad imaginaria, entonces yo los puedo ver como un par de números. Como si fueran vectores de dos componentes donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, y además funciona bien porque yo puedo sumar números complejos y se comporta igual que cuando sumo vectores; puedo incluso…
Héctor Socas explica la utilidad de los números complejos en física, mencionando su aplicación en el estudio de circuitos con corriente alterna.
Habla: Héctor SocasSignificado #2 · Palabras #2números complejos en físicacircuitos con corriente alternatransitorios en electricidadplano real resultados físicos…como el de hoy es porque se va justamente a enseñarle números complejos a sus estudiantes. Así que todo esto lo podrías estar explicando tú mejor que yo, pero entonces yo no tendría nada que decir; así que explico yo esta parte introductoria y ya está. ¿Y qué pasa? Que esto es muy útil en física; hay muchos problemas que se resuelven gracias a todos los trucos y todas las herramientas de cálculo que hemos aprendido para trabajar con los números complejos y en muchos ámbitos de la física, típicamente en electricidad, por ejemplo, para estudiar transitorios, para estudiar circuitos con corriente alterna, viene muy bien; pero al final uno termina volviendo al plano real con sus resultados después de haberse ido al mundo complejo para hacer los cálculos intermedios. Entonces son como una herramienta que permite facilitar muchos cálculos y trabajar y resolver muchos problemas. y aquí es donde entra la mecánica cuántica, resulta que las formulaciones que se hicieron de la mecánica cuántica desde el principio si pensamos en la ecuación de Schrodinger vemos que en una parte está el hamiltoniano y en otra parte está la derivada del…
Héctor Socas explica que la ecuación de Schrödinger ya integra números reales y complejos, y que la función de onda resultante también es compleja.
Habla: Héctor SocasSignificado #15 · Palabras #18ecuación de schrödinger números complejosfunción de onda ecuación de schrödingercoeficientes complejos mecánica cuánticaprobabilidades reales módulo al cuadrado…se hicieron de la mecánica cuántica desde el principio si pensamos en la ecuación de Schrodinger vemos que en una parte está el hamiltoniano y en otra parte está la derivada del vector de estado pero hay una i multiplicando a i, esa i es la unidad imaginaria. La ecuación de Schrodinger ya tiene una mezcla de números reales y complejos. La función de onda de la ecuación de Schrodinger es una función compleja. Las formulaciones de la mecánica cuántica, tanto la de la matricial como la de Brass y Ketz funcionan con coeficientes complejos O sea, está como, todas las formulaciones que se hicieron de la mecánica cuántica originalmente se hacían con números complejos Aunque luego al final, todos los resultados que se obtienen cuando tú calculas una probabilidad de medida son probabilidades, son reales porque al final es el módulo al cuadrado de los coeficientes y eso es un número real. Entonces al final tú te quedas con números reales pero todo el cálculo subyacente es con complejos. Entonces, está un poco la duda, existió de ahí siempre sobre si el uso de números complejos es algo fundamental en la mecánica cuántica o es simplemente algo que nos facilita el cálculo; porque uno puede, como yo decía antes, un número complejo lo puede…
Héctor Socas reflexiona sobre si el uso de números complejos en física es fundamental o simplemente facilita los cálculos. Menciona que este debate se ve influenciado por la narrativa mística a veces asociada con la mecánica cuántica.
Habla: Héctor SocasSignificado #18números complejos en físicafacilidad de cálculo con schrödingermística de la mecánica cuánticanarrativa popular de la mecánica cuántica…par de números reales, puede considerarlo como un vector y de hecho todas estas formulaciones se pueden hacer si uno sustituye esa álgebra compleja por operaciones en un espacio vectorial de dimensión el doble de la dimensión del original, con números reales. Entonces, bueno, parecía que como que no era muy fundamental, sino más bien lo de la facilidad de cálculo. Pero ese debate siempre había estado un poco como ahí de fondo, ¿no? Porque además esto se presta mucho a la mística esta de la mecánica cuántica, ¿no? Porque ya cuando hablamos de que no se necesitan números imaginarios, el lenguaje también entra dentro de la narrativa esta que populariza a veces la mecánica cuántica como algo un poco esotérico, ¿no? pero bueno, aparte de eso, ciñándonos a lo más físico, sí que existe un cierto debate legítimo y en 2021 salió un artículo en Nature que fue bastante importante y además que uno de los autores, bueno de hecho, el autor de correspondencia se llama Miguel…
José Edelstein continúa la discusión sobre el uso de números complejos en física cuántica, ejemplificando con la solución a ecuaciones sin respuesta como hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI.
Habla: José EdelsteinSignificado #20girolamo cardano siglo xvinúmero complejo elevado al cuadradocuerpo de números complejosfunciones derivadas integrales ciencia…yo arranco comentando, como tú lo dijiste, que la ecuación X cuadrado más 1 igual a 0 es una ecuación insultantemente simple y entonces el hecho de que no tenga solución nos enfrenta a dos posibilidades, o resignarnos y decir, pues, ¿qué le vamos a hacer? La vida es así de cruel, o lo que hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI, que fue decir: pues, venga, si no la hay, la pongo yo, la creo yo. Y es un número que se llama i, que elevado al cuadrado a menos uno y luego cuando uno empieza con ese número a preguntarse ¿puedo multiplicar ese número por un número real? ¿Puedo sumarlo a un número real? Y uno empieza a jugar algebraicamente con eso, se da cuenta de que los números complejos estructuran algo que se llama cuerpo, que tiene una serie de propiedades: suma, multiplicación, inverso, elemento neutro, bueno, exactamente igual que los números reales y por lo tanto cuando uno aprende funciones derivadas integrales, todo lo que uno aprende en una carrera científica o técnica. Si uno va a la primera clase o segunda clase de esas materias, de la materia en la cual uno aprende a derivar, a integrar, etcétera, análisis, uno ve que lo que necesita para poder desarrollar un análisis es un cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas…
José Edelstein comenta sobre la importancia de la multiplicación de números complejos en relación con su representación geométrica.
Habla: José EdelsteinPalabras #15multiplicación números complejos puntoplano número complejo vector…cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas sobre la mesa; tienes un nuevo cuerpo de los números complejos y con él puedes empezar a hacer funciones en variable compleja, derivadas, integrales, etcétera, etcétera. Si bien es cierto lo que tú dijiste, que uno puede prescindir de los números complejos, déjame hacer un comentario que creo que es importante. La multiplicación de los números complejos, cuando uno lo piensa el número complejo como un punto del plano o como el extremo de la flechita de un vector, eso vale para la suma, no hay que agregar ningún comentario, los números complejos se suman como si fueran vectores. en el plano, pero no para la multiplicación, porque de Hecho, la única multiplicación de vectores que da un vector es la multiplicación vectorial, así se llama, y algunos de los oyentes que han hecho alguna carrera científica saben que el producto de dos vectores da un tercer vector perpendicular a los dos…
José Edelstein explica que las derivadas e integrales de números complejos tienen propiedades más fuertes que las de los números reales, destacando la estructura superior de los números complejos como cuerpo.
Habla: José EdelsteinPalabras #16derivada de números complejosintegral de números complejosestructura cuerpo números complejosclase de josé edelsteinnúmeros reales sombra de números complejosecuación algebraica con números complejos…ahora la variable compleja y ya está, es todo igual. Pero cuando hay productos, todo cambia. Y hay productos, tanto en la derivada, los que sepan la definición de derivada, hay un producto, un cociente que es lo mismo que un producto implicado, y en la Integral, que hay un producto mucho más manifiesto todavía. Por lo tanto, la derivada de números complejos y la integral de números complejos tienen propiedades muy diferentes y mucho más fuertes. Los números complejos tienen una estructura como cuerpo mucho más noble, por así decirlo, que los números reales; cuando uno lo aprende, y yo digo esto en clase, si uno tiene una mentalidad un poco matemática en la cual sospecha que el universo se va a aprovechar de Aquellas cosas que son elegantes y robustas uno no tiene ninguna, yo diría; acá puede ser que, no sé si, creo que ni Gastón ni Francis se van a oponer a esto, pero que la matemática está, la realidad está escrita en números complejos, o sea los números reales son una sombra de números complejos, como los números naturales son una sombra de números reales, pero los números complejos son, no solo permiten resolver cualquier ecuación algebraica como bien decías, sino que además son la forma en la cual se escribe naturalmente todo prácticamente. Dicho esto y perdón que me alargo, pero es que como me voy a ir, digo. Todo bien. Alárgate todo lo que quieras. Largo todo mi rollo. Dicho esto, uno siempre puede deshacer todo y duplicando las dimensiones, sí es cierto. Pero es cierto que a medida que uno va avanzando en el tipo de operaciones que uno va realizando, cada vez es…
Gastón Giribet explica que el uso de números complejos es fundamental para describir fenómenos cuánticos y aclara que no se trata de una preferencia personal, sino de una cuestión práctica relacionada con la eficiencia y compatibilidad con los experimentos.
Habla: Gastón GiribetSignificado #14ecuación de schrödinger en realesschrödinger y su ecuación complejanúmeros complejos en física cuántica…al cuadrado que lo traigo de afuera. Bueno, claro, si empezás a poner demasiada estructura de afuera, sí, podés hacer casi cualquier estupidez. Pero la pregunta es: ¿cuál es la forma más natural, más escueta, compatible con los experimentos de describir esto? Es con números complejos, no reales; complejos no necesariamente reales. Ahora también es importante entender de dónde surge la pregunta, que es muy natural y que de hecho desveló a los padres de la mecánica cuántica. El mismo Schrödinger intentó escribir su ecuación en términos de dos ecuaciones reales: ¿le molestaban los números complejos? No, le molestaba la necesidad de ellos. ¿Y por qué? Porque la física tiene tres instancias, tres relaciones con los números complejos. Todos los resultados de la física, los resultados observables, son números reales; porque vienen en términos de probabilidades, incluso en la cuántica. Cuando yo digo, a ver,…
Gastón Giribet explica una técnica utilizada para simplificar cálculos en física, específicamente en el manejo de corrientes eléctricas.
Habla: Gastón GiribetSignificado #1 · Palabras #1números complejos en mecánica cuánticafunción de onda compleja integradaresultados reales desde números complejoscomodidad física de números complejoscorriente eléctrica como números complejosexponenciales complejas para cálculos de corriente…intermedios para llegar a él no hayan demandado, no solamente podido ser posible, sino exigido el cálculo a través de números que son complejos; porque en mecánica cuántica, cuando uno calcula la probabilidad, que repito, siempre va a ser un número real y Positivo, primero eleva al cuadrado una función de onda que es complejo y la integra en todo el espacio. Entonces, necesitó el número complejo para producir ese número real. ¿Y por qué es importante esto? Porque los números complejos hasta la mecánica cuántica habían sido para los físicos solamente una comodidad, lo que es una incomodidad para el estudiante, pero para el físico es una comodidad, por ejemplo cuando uno resuelve circuitos eléctricos. Muchas veces para no andar trabajando con senos y cosenos que son molestos, uno escribe la corriente como si fuera un número complejo. Obviamente, la corriente no es un número complejo; son un montón de electrones pasando por un cable, pero la escribe como número complejo porque le es más fácil operar con exponenciales complejas que con senozoides reales. Ahora, claro, al final del cálculo uno le toma la parte real. Lo mismo hace en óptica. Es muy fácil explicar fenómenos ondulatorios, muy sencillos, escolares, como la difracción o la interferencia, con exponenciales complejas. Es mucho más cómodo porque usar cosenos y senos hay que acordarse que el seno de A más B es…
Gastón Giribet explica que los números complejos son fundamentales en diversos campos de la física, desde la óptica hasta la electricidad, y que su uso va más allá de una simple comodidad de cálculo, siendo incluso una exigencia del formalismo en mecánica cuántica.
Habla: Gastón GiribetSignificado #3 · Palabras #6números complejos en físicaformalismo en mecánica cuánticaresonancia sistema simple mecánica…la difracción o la interferencia, con exponenciales complejas. Es mucho más cómodo porque usar cosenos y senos hay que acordarse que el seno de A más B es igual al coseno. Puede hacerlo pero es mucho más fácil. A último momento uno toma la parte real de todo. Entonces, en la física los números complejos son ubicuos, o sea, están en la óptica, en la electricidad, en un montón de cosas. Ahora, es más cuando calcula resonancia el sistema simple de mecánica, pero al final del día uno siempre entendía que era una comodidad de cálculo. Ahora, mecánica cuántica es más que una comodidad de cálculo, es una exigencia del formalismo. Bueno, eso es lo que se pone en tela de juicio. Al menos la pregunta. Es natural, porque es la primera vez que necesito y no me siento cómodo con esta estructura. Bueno, todo parece indicar que los números complejos son, en ese sentido, necesarios. Cuando se discute en esto, me recuerdo un artículo de Cuanta del 2023 que hacía…
José Edelstein, tras una discusión sobre la utilidad de los números complejos en física, expresa su asombro por el hecho de que solo se puedan medir números reales, a pesar de que la realidad parece estar descrita con números complejos.
Habla: José EdelsteinSignificado #13números imaginarios son realesrealidad descrita con números complejosmedir solo números reales jose edelsteincódigo de máquina y realidad física…vez que necesito y no me siento cómodo con esta estructura. Bueno, todo parece indicar que los números complejos son, en ese sentido, necesarios. Cuando se discute en esto, me recuerdo un artículo de Cuanta del 2023 que hacía un chiste, algo así como... experimentos muestran que los números imaginarios son reales, o son una realidad de la cuantía, o algo así. Esos chistes que estamos haciendo acá, la gente lo publica y cobra. Me tengo que ir ya, pero quería comentar que para mí en realidad el mayor misterio es por qué a pesar de que la realidad está escrita con números complejos, solo podemos medir números reales y no aparecen, no se cuelan, es como si hubiera un código de máquina y luego lo que podemos ver que no es exactamente el mismo código de máquina. a mí eso me parece mucho más cercano a algo que me resulta misterioso que a los números complejos a La duda, o sea, pensemos que además no solo cuando la gente hace este tipo de disquisiciones sobre la cuántica agarra la ecuación de Schrödinger o agarra, no sé, el computador; las formulaciones de la mecánica cuántica no relativista iniciales y juega con…
Héctor Socas y Gastón Giribet discuten la posibilidad de formular una física cuántica basada en números reales, contrastándola con el uso de números complejos.
Habla: Héctor SocasSignificado #19física cuántica basada en realescuántica real sosa aburrida feanúmeros complejos en física…con esas dos materias. Bueno, perdón por este... Yo diría teoría de grupos, pero será porque no sé suficiente relatividad. Teoría de grupos es una teoría de grupos, pero también tiene mucho de geometría y mucha relación con los números complejos también. Bueno, entonces la conclusión viene a ser algo así como que existe quizás formas de formular una cuántica real, pero es sosa, aburrida y fea. ¿La realidad será compleja o no será? Innecesariamente complicada, sí. ¿Ya los números son complejos o para hacerlo más complicado? Por ejemplo, no sé si lo sabéis, bueno, supongo que lo sabréis. Existen interpretaciones de la mecánica clásica y una de ellas es la interpretación que asume que los números en la mecánica no pueden ser reales, porque los números reales no existen. Los números reales no existen, ni siquiera los podemos calcular; entonces…