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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoJuan Carlos GilJosé EdelsteinFrancis VillatoroHéctor SocasGastón Giribetecuaciones navier stokes problema valores inicialescontornos irrelevantes ecuaciones navier stokessingularidades generadas por contornosfluido núcleo singularFrancis VillatoroGastón GiribetNavier StokesHéctor SocasHéctorecuaciones de Navier-StokesNavier-StockProblema del milenioFeffermanTierraPlasmaCampo magnéticoMagnetohidrodinámicaEcuación de Navier-StokesInstituto Klein de MatemáticasMaxwellDiego CórdobaEcuación de EulerOperador laplacianoLuis Martínez ZoroaNewtonFórmula 1Feferman
Contornos irrelevantes ecuaciones Navier Stokes
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Francis Villatoro aclara aspectos relacionados con el problema de valores iniciales de las ecuaciones de Navier Stokes, señalando la irrelevancia de los contornos debido a su capacidad para generar singularidades.
…es más famoso que cualquier otro matemático que haya ganado la Phil Medal Salmo, Salmo, Andrew Weil o alguno de esos Al final el tipo no pudo escapar de su fama, le sacan fotos todo el tiempo en el metro Se hizo un efecto Streisand, ¿no? ¿No se llamaba así? Bueno, pues adelante Francis, cuéntanos un poco. Quizás hay que aclarar un par de cositas de lo que ha dicho Gastón, que creo que son relevantes. En el problema del milenio se plantea el problema de valores iniciales de las ecuaciones de Navier Stokes. ¿Eso qué significa? Significa que no se consideran los contornos. Los contornos son irrelevantes, ¿por qué? Porque sabemos que los contornos generan singularidades. Yo puedo con un contorno generar un núcleo singular que se propaga el fluido y genera la singularidad en el fluido. Eso está demostrado hace muchísimo tiempo. Entonces, tanto con contornos como con propiedades físicas que cambian. Por ejemplo, si tengo dos fluidos, un fluido y otro fluido. Diego Córdoba, el español, durante uno de los claves en lo que vamos a hablaros después, como entre el 2000 y el año 2010, se demostró que en la interfase entre dos fluidos de densidad constante, cada uno es de densidad constante, la interfase se puede curvar…
Significado #1 · Palabras #1
Gastón Giribet explica la relación entre la ecuación de Navier-Stokes y la magnetohidrodinámica, señalando que esta última incluye ecuaciones más complejas para fluidos cargados.
Habla: Gastón GiribetPalabras #8ecuación navier stokes fluidosdinámica de los fluidos gases líquidosviscosidad en fluidos gasesecuación de navier stokes y magnetohidrodinámicafluidos neutros sin carga eléctricamagnetohidrodinámica incluye ecuaciones complejasgastón giribet explica navier stokesecuaciones navier stokes y maxwellacoplamiento ecuaciones del fluidoplasma como fluido neutroplasma neutro genera campo magnéticomagnetohidrodinámica afecta al fluidoecuaciones navier stokes para plasmaecuación navier stokes describe fluidosley de newton aplicada a fluidoscampo de velocidades en el fluidoconservación de la masa en fluidos…Einstein, pero una cosa es escribir unas ecuaciones. Las ecuaciones dicen mucho sobre la física, pero sus soluciones se aplican a problemas particulares y a veces es muy difícil resolver esas soluciones, o incluso saber si es posible resolver esas soluciones. La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación que gobierna la dinámica de los fluidos. ¿Qué quiere decir esto? De todo fluido; absolutamente todo fluido. Fluido de gases, líquidos. Por supuesto, uno puede pensar en diferentes condiciones. Hay fluidos que tienen, por ejemplo, viscosidad y otros que no tienen viscosidad, o tienen mucha viscosidad o tienen poca viscosidad. Pero la ecuación que gobierna cualquier fluido, los gases o los líquidos, cualquiera, desde el flujo de la sangre hasta cómo se hace un avión, porque el avión no es nada más que algo moviéndose en un fluido, o el agua, todo eso está gobernado por una ecuación diferencial que Se conoce como ecuación de Navier-Stokes. Me veo obligado, Gastón, perdón, es de formación profesional, puede ser muy petardo, pero me veo obligado a hacer una puntualización: cualquier fluido neutro ¿Cómo? Cualquier fluido neutro, sin carga y sin campos eléctricos. Es verdad, pero si se quiere un fluido que esté cargado, tiene las ecuaciones mucho más complejas que son las de magnetohidrodinámica, pero que en particular incluyen a de Navier-Stokes. No es que uno se olvide de ahí y empieza de nuevo. Ahí, por supuesto, hay otras ecuaciones que es el acoplamiento entre las ecuaciones del fluido, las de Navier-Stokes y otras que tienen que ver con, por ejemplo, si es compresible o no es compresible u otras cosas así. Pero luego acopladas a las ecuaciones de Maxwell, porque, por ejemplo, un plasma es un fluido que es neutro pero que tiene cargas que se mueven a pesar de que netamente no esté cargado, eso genera campo magnético y entonces eso afecta al mismo fluido. Pero en ese caso el sistema de ecuaciones es mucho más complejo que es el de la magnetohidrodinámica, pero en particular uno de esos renglones es la versión para el fluido cargado o el plasma de Navier-Stokes. Entonces la ecuación de Navier-Stokes de alguna forma está ahí también. puede haber otras, pero está en la de Navier-Stokes. Entonces, la ecuación de Navier-Stokes básicamente, si bien está suplementada con otras ecuaciones, la que da cuenta, por ejemplo, de que se conserva la masa, o si el fluido que estás hablando es compresible o no compresible, pero la ecuación de Navier-Stokes básicamente lo que hace es describe macroscópicamente para el fluido la ecuación de Newton, es decir, que fuerza es igual masa por aceleración. lo que pasa es que en un fluido esas fuerzas están dadas por fuerzas internas, por fuerzas externas, por cosas así, pero básicamente se escribe de la siguiente manera da cuenta de cuál es el campo de velocidades, por qué la palabra campo acá, es cómo son las velocidades en cada punto del fluido para dónde apunta y cuál es en cada punto del fluido, eso es lo que la ecuación de Enamil-Stokes da Por supuesto, la velocidad es un vector, porque te dice para dónde va, porque estamos hablando en el espacio tridimensional, por ejemplo, la atmósfera y encima depende de otro vector que es a qué punto te estás refiriendo; la velocidad del fluido o dónde,…
Gastón Giribet explica que la ecuación de Navier-Stokes es compleja, pero menos que otros problemas físicos como la magnetoidrodinámica o la teoría del campo gravitacional, y señala un aspecto importante: no es una ecuación fundamental de la física.
Habla: Gastón GiribetSignificado #7 · Palabras #18teoría del campo gravitacional más complejanavier stokes no es fundamental física…cálculos perturbativos o puedo pensar aproximaciones en las cuales la viscosidad está pero es muy pequeña y lo puedo tratar de manera perturbativa hay diferentes resultados que uno puede hacer aproximándose a la solución cuando no tiene la solución a mano Es muy compleja esa ecuación, no es la ecuación más compleja de la física. O sea, empalidece al lado de cuando uno acopla estas con la magnetroidodinámica, como dice Héctor, porque es mucho más compleja. También empalidece al lado de la teoría del campo gravitacional. Recordemos, por otro lado, hay una cosa importante para saber de la ecuación de Navier-Stock. La ecuación de Navier -Stock no es una ecuación fundamental de la física. Por dos razones: primero, porque es el comportamiento colectivo de las moléculas que componen un fluido es una teoría efectiva; describe un fluido, pero no sabemos que el fluido en realidad, al fin y al cabo, no es más que el comportamiento colectivo de…
Gastón Giribet explica cómo la ecuación de Navier-Stokes se ve afectada por altas velocidades y campos gravitacionales fuertes.
Habla: Gastón GiribetPalabras #5ecuación navier stokes y velocidades altascorrecciones relativistas a navier stokescampo gravitacional fuerte y ecuaciones diferencialesinyección de energía en navier stokesecuaciones navier stokes en agujeros negroscampos magnéticos intensos en discos acreciónecuaciones navier stokes fluidos incompresiblesresolución ecuaciones navier stokesdensidad constante en fluidos…es una ecuación que va a dejar de valer a muy altas velocidades, porque a muy altas velocidades el fluido no puede adquirir una velocidad extremadamente alta, porque cuando el fluido tiene velocidades comparables a la velocidad de la luz, la ecuación. Cambia, empieza a adquirir correcciones relativistas que dan cuenta, por ejemplo, de que para que la velocidad siga aumentando hay una inyección de energía que tiene que tender a infinito. Hay correcciones relativistas a la ecuación de Navier-Stokes. Más aún, cuando estamos en presencia de un campo gravitacional muy fuerte, es aún peor: la ecuación de Navier-Stokes adquiere correcciones de la relatividad. General, por ejemplo, todo esto que acabo de mencionar es importante cerca de los agujeros negros para describir los discos de acreción, porque como dice Héctor, ahí aparecen campos magnéticos muy intensos y la ecuación se complejiza. Las velocidades del fluido alcanzan velocidades vertiginosas comparables con la de la luz y encima hay un campo gravitacional muy intenso ahí, entonces las ecuaciones de Navier-Stokes, si bien están, están muy deformadas, ya no se parecen mucho a su versión original, que es de la que versa el siguiente problema. El problema es el siguiente: siendo que esta ecuación gobierna... O sea que la densidad debe ser constante, o son generales, pero vamos a trabajar. No, eso lo tenés que agregar. Por ejemplo, si estás hablando de un fluido incompresible, que es como una ecuación mucho más sencilla, pero es una de las que tenés que tener en cuenta, que es una condición que básicamente lo que te está diciendo es que si vos tenés Un volumen cerrado en el espacio, la materia que entra, o sea la ganancia de materia en el tiempo ahí adentro, la cantidad de materia que va agregando ahí está relacionada con el flujo de materia a través de esa superficie. Por supuesto, no es lo mismo…
Gastón Giribet aborda la complejidad adicional que introduce la compresibilidad en los fluidos y cómo esto afecta a la ecuación de Navier-Stokes.
Habla: Gastón GiribetPalabras #3ecuación de navier stokes y compresibilidadfunción complicada reemplaza ecuación continuidadnavier stock con condición cambianteecuación navier stokes muy complejaderivadas primeras de la velocidadderivadas segundas de la velocidad viscosidadfluido cerca de gravitación tierra…ahí está relacionada con el flujo de materia a través de esa superficie. Por supuesto, no es lo mismo describir agua, que es un buen fluido, es una buena aproximación de decir que es incompresible, que describir el comportamiento de una espuma o la atmósfera. Se complejiza mucho más el problema cuando uno piensa en compresibilidad del fluido, muchísimo más. Por supuesto, igual está la ecuación de Navier-Stokes y hay que agregarle términos, o mejor dicho, funciones muy complicadas que reemplazan la ecuación de continuidad. Mi pregunta es terminológica: si eso se sigue llamando Navier-Stokes. Sí, se sigue llamando Navier Stock; una de ellas se sigue llamando Navier Stock, lo único que la otra condición cambia. Por supuesto, esto es muy complejo; es una ecuación muy compleja. No importa los detalles que dije antes, lo dije por completitud, por si alguien está siguiendo las ecuaciones, pero hay derivadas primeras de la velocidad, derivadas segundas de la velocidad en el término de viscosidad; es muy muy complejo. Y por otro lado dije que se puede poner el fluido en diferentes situaciones; se puede poner el fluido cerca de una región donde hay gravitación, por ejemplo acá en la Tierra donde hay gravedad y pongo un poco de fluido hasta el fondo porque hay gravedad o puedo pensar en una nube de hidrógeno que navega el universo temprano donde no hay gravedad prácticamente salvo la propia. Entonces hay muchas situaciones en las que uno puede poner Esto, pero también hay situaciones que son externas, son forzadas; por ejemplo, yo puedo tener una cubeta con agua pero encima ponerle una cuchara adentro y darle vueltas o poner una paleta dentro y moverla de adelante para atrás, de manera tal que encima…
Gastón Giribet explica que se han logrado avances en la demostración del problema matemático, incluyendo pruebas en una dimensión más baja y con condiciones de contorno específicas.
Habla: Gastón GiribetSignificado #20problema matemático dimensión bajacondiciones de contorno específicassubresultados demostración matemáticahector problema contraejemplo…bien o encontrar un contraejemplo Al menos encontrar un contraejemplo en el que muestres que no es así. Demostrar eso. El problema de milenio es demostrar eso. Hay cuatro versiones y hay un montón independientes y hay un montón de resultados preliminares. Se ha logrado en una dimensión más baja probar algunas cosas, mucho. Se ha probado también con condiciones de contorno que son pequeñas. Hay un montón de subresultados sobre esto. La idea, que el problema es, como dice, como enfatiza Héctor, es demostrar que es así, o dame un contraejemplo. Para mostrar que no es así. Es decir, que yo puedo ver que, habiendo comenzado comportándose bien el fluido en un tiempo finito, en tiempo finito, puede ser largo pero finito, se comporta enfermamente. Es decir, alguna cantidad física relevante, la energía,…
Gastón Giribet explica que el Instituto Klein de Matemáticas propuso una serie de problemas hace más de 25 años, algunos relacionados con la física debido a su conexión con ecuaciones físicas.
Habla: Gastón GiribetSignificado #9problemas instituto klein matemáticasecuaciones navier stokes físicaderivadas en ecuaciones físicasmotivación problemas matemática física…pedís a un estudiante, demuestre o busque un contraejemplo y la respuesta es que no hay ningún contraejemplo, es como, no sé, no sos docente Es como buscar un contraejemplo al teorema de Pitágoras, ¿no? Te puedes tirar un rato largo Inténtalo, ¿no? Inténtalo La idea es que hace más de 25 años la Klein Mathematical, ¿cómo se llama? Society Instituto Klein de Matemáticas Instituto, eso, claro, CMI El Instituto Klein de Matemáticas propuso una serie de problemas, siete si no recuerdo mal en los cuales algunos están muy relacionados con la física no porque el problema en sí sea físico, el problema es de matemática, pero bueno, de ecuaciones que tienen que ver con la física que vienen de ahí porque uno podría inventarse cualquier ecuación a hacerse estas preguntas, ¿no? Por ejemplo, podría complicar la ecuación de Unanivestock poniendo otro término más complicado con tres derivadas sería más inasequible el problema, pero también más irrelevante, porque los fluidos no tienen ese término entonces hay como una comunicación entre física y matemática aquí, pero solo en la motivación del problema El problema es un problema de matemática, es probar o buscar un contraejemplo, y es muy complicado, por ejemplo, cualquier Físico aprende en la carrera la ecuación de Navier-Stokes, o la vio alguna vez; pero agarras uno de estos papers y es imposible leerlos, o sea, incluso para mis amigos expertos en fluidos como físicos, no podrían entender estos papers. Ellos dirían que…
Gastón Giribet explica cómo los matemáticos buscan un contraejemplo para validar hipótesis sobre el comportamiento de fluidos, incluso si la condición de contorno es extremadamente específica.
Habla: Gastón GiribetSignificado #3ecuaciones de navier stokes numéricasnavier stokes en más dimensionesfísicos y matemáticos ecuaciones navier stokesecuaciones navier stokes soluciones numéricassimulación numérica en ordenadorfísicos validan ecuaciones experimentoscontraejemplo comportamiento fluidoscondición de contorno ridículamente especialexplosión en evolución temporalvalidación hipótesis gastón giribet…es imposible leerlos, o sea, incluso para mis amigos expertos en fluidos como físicos, no podrían entender estos papers. Ellos dirían que algunos los conocen, son medio pedantones, pero no podrían, créeme. Perdona, Gastón, es que la clave es que los físicos. Normalmente trabajan con estas ecuaciones pero no de forma matemática analítica sino numérica. Bueno, hay como un degradé; hay físicos que se dedican más a aspectos matemáticos, por ejemplo, hay gente que hace la ecuación de Navier-Stokes en más dimensiones y eso es algo académico para un físico. Hay muchas cosas, ahí hay un degradé entre físicos y matemáticos. Pero típicamente, cuando tú decías que tiene aplicación, yo que sé, para cómo vuelan los aviones, cómo corre un Fórmula 1, cómo cae la materia en un agujero negro Claro, en esos casos uno lo que hace es o experimentos o cosas numéricas, porque quiere y con eso alcanza para convencerse, ¿no? O aproximaciones semi-analíticas cuando tiene algún parámetro bajo control Pero acá estamos hablando de otra cosa Un ordenador y va ejecutando una simulación numérica en un ordenador, pero no te preocupa tanto la matemática de las ecuaciones No quiero pecar de pragmático, no quiero pecar de apologeta de lo concreto, pero eso es lo que haría un físico. Ahora los matemáticos están interesados en esto y si están buscando un contraejemplo, no importa cuán ridículamente especial sea esta condición de contorno, si encuentran un contraejemplo y parten de que el fluido se comporta bien, pero la evolución temporal lo lleva a que de repente explota, entonces eso se alcanza como contraejemplo. No me importa si este caso tiene o no aplicación física. Entonces, es un problema muy muy complejo, el Instituto Clay lo incluyó en una serie de problemas Los problemas del milenio son problemas que no fueron resolucionados hasta ahora, salvo uno Que es aquel que resolvió Perelman en el año 2002, circa, porque es…
Francis Villatoro aclara aspectos relacionados con el problema de valores iniciales de las ecuaciones de Navier Stokes, señalando la irrelevancia de los contornos debido a su capacidad para generar singularidades.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #1ecuaciones navier stokes problema valores inicialescontornos irrelevantes ecuaciones navier stokessingularidades generadas por contornosfluido núcleo singular…es más famoso que cualquier otro matemático que haya ganado la Phil Medal Salmo, Salmo, Andrew Weil o alguno de esos Al final el tipo no pudo escapar de su fama, le sacan fotos todo el tiempo en el metro Se hizo un efecto Streisand, ¿no? ¿No se llamaba así? Bueno, pues adelante Francis, cuéntanos un poco. Quizás hay que aclarar un par de cositas de lo que ha dicho Gastón, que creo que son relevantes. En el problema del milenio se plantea el problema de valores iniciales de las ecuaciones de Navier Stokes. ¿Eso qué significa? Significa que no se consideran los contornos. Los contornos son irrelevantes, ¿por qué? Porque sabemos que los contornos generan singularidades. Yo puedo con un contorno generar un núcleo singular que se propaga el fluido y genera la singularidad en el fluido. Eso está demostrado hace muchísimo tiempo. Entonces, tanto con contornos como con propiedades físicas que cambian. Por ejemplo, si tengo dos fluidos, un fluido y otro fluido. Diego Córdoba, el español, durante uno de los claves en lo que vamos a hablaros después, como entre el 2000 y el año 2010, se demostró que en la interfase entre dos fluidos de densidad constante, cada uno es de densidad constante, la interfase se puede curvar…
Francis Villatoro explica que Fefferman incluyó una solución improvisada en el problema del milenio para darle una oportunidad a quienes intentaban resolverlo.
Habla: Francis VillatoroPalabras #7ecuaciones navier stokes condición inicialflujo regular navidad stokescondición a fefferman problemasproblema valores iniciales infinitosolución improvisada problema del mileniofefferman y ecuaciones navier stokesversiones c y d fefferman problemasecuaciones navier stokes fórmulas newtonfuerza masa aceleración newtondensidad derivada operador aceleración velocidadgastón ecuaciones igual a cero…los dos problemas que ha comentado Gastón, de los cuatro problemas, de las cuatro variedades, esto es una cosa que puso Feferman; Feferman fue el director de la tesis doctoral del padre de Diego Córdoba y fue el director de la tesis doctoral de Diego Córdoba. En su momento, en el año 2000, todo el mundo pensaba, bueno, todo el mundo, gran parte, la mayoría de los expertos en la matemática de las ecuaciones de Navidad-Stokes pensaba que si yo parto de una condición inicial regular, que no tiene singularidades, el flujo se va a mantener regular eternamente entonces ese es el problema que se formula como lo que Gastón ha dicho, la condición A, la formulación A y la formulación B la formulación A, el problema de valores iniciales en infinito, en un sistema abierto y la formulación B en un problema con condiciones de contorno periódicas que el fluido que sale por una pared reentra por la otra pared, que eso simula también condiciones iniciales pero Feferman pensaba que ese problema era tan difícil que lo mismo había que darle una pequeña vidilla a los que querían atacar el problema del milenio entonces decidió incluir algo que se sacó de la manga y que en aquel momento nadie entendió, dijo la gente, pero Feferman que hace, que hombre se está perdiendo la olla completamente de hecho a nivel de divulgación nadie mencionaba las versiones C y D del problema, parecían irrelevantes, es la idea de forzar la ecuación de Navier-Stokes, en la ecuación de Navier-Stokes tengo viscosidad constante, densidad constante, por lo tanto es un fluido incomprensible, incomprensible, perdón, incomprensible Pero puedo añadir la ecuación igual a cero, como lo ha contado Gastón; era la parte de la formulación tipo de ecuación de Newton. Las ecuaciones de Navier-Stokes básicamente son las fórmulas de Newton: f igual a masa por aceleración. La masa por aceleración es la fuerza, hay una densidad multiplicada por un operador de derivada que actúa como aceleración que actúa sobre la velocidad, sobre un pequeño volumen de fluido y eso lo igualo a las densidades de fuerza que tengo externas. Pero la formulación estándar de poner viscosidad, presión como fuerzas externas, pero no externas, incluida la interlocación y la derivada de la velocidad, es decir, la aceleración a un lado y lo igualo a cero, esa es la formulación estándar y es lo que todo…
Francis Villatoro explica una alternativa para abordar el problema del milenio, proponiendo la introducción de un campo de fuerza o función de velocidad arbitraria en las ecuaciones de Navier-Stokes.
Habla: Francis VillatoroSignificado #13 · Palabras #4campo de fuerza en navier stokesfunción de velocidad arbitrariaecuaciones de navier stokes francis villatoro…una singularidad parece una cosa muy difícil pero hay una trampa que tiene esta formulación C y D, la formulación C es en el infinito en el R3 en el espacio abierto y la D es en contención de cotoroperiódica en el troide hay una trampa y la trampa es que Yo puedo, en lugar de plantearme, generar un campo de fuerza; si yo pongo una solución, una solución cualquiera, de hecho ni siquiera tiene que ser una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, una función cualquiera, un campo de velocidad cualquiera, lo meto en las ecuaciones de Navier-Stokes, en el miembro derecho. Y calculo los operadores diferenciales, obtengo una fuerza, un forzamiento. El forzamiento calculado en plan tramposo, como un truco, a partir de meter el campo de velocidades; de hecho, para un flujo incomprensible el campo de velocidades termina de forma…
Francis Villatoro explica que la solución obtenida mediante un truco no resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes ni simula la evolución natural del fluido para generar una singularidad.
Habla: Francis VillatoroSignificado #14ecuaciones de navier stokes sin resolversingularidad generada artificialmentefluido evoluciona naturalmenteesforzamiento artificial de la ecuación…suave como condición inicial, que yo sé que tiene un perfil típico de lo que es un blowout, de una explosión de la solución, algo que va a generar la singularidad. Lo que ocurre es que el campo de fuerza que me resulta no es infinitamente diferenciable. El hecho de que esta solución que yo he metido aquí, con este truco, fijaros, esto es un truco, porque no estoy resolviendo las ecuaciones de never stops, no estoy cogiendo una condición inicial y evolucionando la ecuación en el tiempo para obtener cómo se comporta el fluido y que el fluido de manera natural evolucione y genere la singularidad. Yo estoy metiendo yo la solución generando ese residuo residual de la ecuación, ese esforzamiento artificial y gracias a tener ese esforzamiento artificial yo puedo meter cualquier cosa. Puedo meter en cualquier campo de velocidad, el que yo quiera, pero entonces eso no te ayuda a entender la física de los fluidos, ¿no? Y a quién le importa; es que es la formulación C, es la trampa que nos metió Feferman, ese camino alternativo que Feferman…
Francis Villatoro explica cómo el equipo liderado por Diego Córdoba logró atacar el problema de hipodispación en ecuaciones como la de Navier-Stokes.
Habla: Francis VillatoroSignificado #10ecuación de navier stokes y hipodispaciónequipo de córdoba y martínez zorroasingularidades en ecuación de medios porososoperador laplaciano fraccionario…esa solución perturbada me vuelve a generar un nuevo forzamiento que me vuelvo a utilizar para que perturbe y hago un proceso de bad reaction, de retrorreacción en el que voy metiendo, forzando; el forzamiento me sugiere una modificación que lo acerca a Singularidad y gracias a eso probaron la aparición de singularidades en versiones mucho más simplificadas de este problema, como la ecuación de medios porosos y en algunas variantes de la ecuación de Euler, que es sin viscosidad. E incluso en las ecuaciones de Navier-Stokes, el equipo de Córdoba y Martínez Zorroa logró atacar el problema de hipodicipación: es decir, cuando el operador laplaciano que multiplica la viscosidad en realidad es un operador fraccionario; no tienes una derivada segunda sino que tienes una derivada menor de 2, una derivada pequeña. Entonces demostraron que para valores de potencia el sustituido del 2 por un alfa, pues para alfas mucho más pequeños que 2 había aparición de singularidades por este procedimiento, que eso fue una cosa muy sorprendente y eso fue el motor de que mucha gente trabajara en los últimos 3 años en este problema, en el problema de…