Búsqueda · 18 momentos en 15 episodios
Sara RobiscoJuan Carlos GilFrancis VillatoroHéctor SocasGastón Giribetseguridad bitcoin algoritmo curvas elípticasclave bitcoin 256 bits rsaruido problema computación cuánticacifrado con curvas elípticas villatoroanalogía pinzas papel curva elípticarsa 2048 bits saracifrado con curvas elípticasanalogías visuales francis villatoroforma manguito clips papelcurvas helísticas definidascifrado bitcoin curva helísticacurva elíptica producto de puntoscaracterísticas matemáticas curvas elípticaslíneas secantes curvas elípticasreflexión eje x curva elípticasuma de un punto consigo mismotangente como límite secante villatorosuma curvas elípticas villatoropunto negativo reflejo sumaproducto escalar entero puntoalgoritmo rsa clave públicafactorizar número primo 2048 bitsclave pública producto de primosnúmero semiprimo biprimocifrado clave pública curvas elípticasoperación suma puntos curva elípticaproducto escalar alto francis villatoronúmero enorme chorizo de 256 bitscifrado curvas elípticas números enterosretículo discreto seguridad cifradocurvalística versión discreta curvanúmero primo enorme seguridadcifrado con curvas elípticas seguridadalgoritmo bitcoin bits descifrarfactorización números primos peter schorfactorización números primos criptografíalogaritmo discreto algoritmo curvas helísticascriptoanálisis clave rsa n bitsalgoritmo curvas elípticas necesita tripleclave bitcoin requiere qubits lógicosqubits físicos tienen enorme erroralgoritmos corrección errores necesariosSaraRSAFrancis VillatoroBitcoinPeter Schor256 bitseje XJuan Carlos GilGastón GiribetPunto 2PProducto escalar2048 bits
Cifrado con curvas elípticas
Ep 503: Propulsión Espacial; Computación Cuántica; Fusiones de Estrellas de Neutrones; Agujeros Negros
13 de marzo de 20253 momentos
Con
0:000:301:001:302:002:303:12
Francis Villatoro continúa explicando el concepto del cifrado con curvas elípticas, haciendo una analogía visual para facilitar su comprensión.
…calcular ciertas cosas Pero ni calcula nada, ni ejecuta nada de Bitcoin, ni nada por el estilo O sea que esto probablemente es eso, es el clásico bulo de redes sociales que se convierte en noticias Pero me sirve como excusa Perdona, ya sabemos que el gran Problema de la computación cuántica es el ruido. Sí, exactamente. Sí, tal cual. Esto sirve como excusa para recordar algunos conceptos básicos sobre la seguridad Bitcoin. Bitcoin utiliza un algoritmo de firma digital basado en curvas elípticas y es un algoritmo que le permite utilizar una clave más corta que los algoritmos estándares de cifrado con clave pública como RSA. La clave que usa Bitcoin es de 256 bits y eso equivale a uno del orden de 3000 bits en. RSA. En RSA, como ya comentó Sara algunas veces, en los casos más exagerados se trabaja con 2048 o por ahí, no mucho más. La idea del cifrado con curvas elípticas. Una curva elíptica es una cosa que se parece, ¿acordáis esto de las pinzas para papel? Que son negras, que tienen una forma de triángulo y que tienen como dos, como un mango. Pues ese mango, la forma de ese mango es la forma de una. Curva elíptica, ¿vale? Una curva elíptica, si imaginamos en el plano, pues es una curva que baja en la parte positiva del plano. Tienes las ordenadas y las abscisas, el eje horizontal y el eje vertical. Baja, alcanza un mínimo, sube, tiene un máximo, vuelve a bajar y ahora cruza el eje X y abajo es completamente simétrica. Es como la forma del manguito ese de los clips estos de papel. Es parecido a los lazos que tienes en el fondo. Es parecido, lo que pasa es que no necesariamente se cruzan, normalmente no se cruzan. En las curvas elípticas cuando hay corte, lo que tienes es como un globo y después tienes la parte suave al lado, una especie de curva hiperbólica al lado. En las curvas helísticas básicamente son curvas definidas por un Polinomio en el plano que tiene la sisa, la coordenada vertical y cuadrado, igual a un polinomio cúbico en la coordenada horizontal. Yo qué sé, x al cubo más 7. La curva helística que se usa con Bitcoin, en el cifrado de Bitcoin, es y al cuadrado igual a x al cubo más 7. Es una curva extremadamente sencilla, y la curva elíptica tiene muchas propiedades, y una de ellas es que se puede definir una suma o producto, depende de cómo lo quieras llamar, una suma de puntos dentro de la curva. Yo puedo tomar dos puntos en la curva y puedo definir un nuevo punto al que llamo la suma de estos dos puntos. La idea es trazo una secante, una línea que pase por estos dos puntos y esa línea obligatoriamente me cortará a otro punto de la curva. Bien, pues ese otro punto de la curva no es la suma. La suma es la reflexión respecto a la línea horizontal, al eje X, de ese punto. Como la curva es simétrica, todo punto de la curva tiene un reflejado. Entonces la suma es trazar esa línea y reflejar un punto. Si yo tengo un único punto, también puedo sumar. Puedo sumar ese punto consigo mismo. Claro, una secante cuando yo aproximo los dos puntos se convierte en una tangente, entonces yo tomo un punto, tomo la tangente, lanzo la línea y obtengo otro punto que es el negativo, lo reflejo y obtengo el valor de la suma y puedo construir el punto 2, si tengo el punto P, puedo construir el punto 2P y por analogía con el 2P y el P puedo definir el 3P o con el 2P y el 2P obtener 4P, etc. Puedo tener lo que se llama un producto escalar, un número entero multiplicado por un punto. Pues esta es la idea. La idea de los algoritmos descifrados con clave pública, como ya muchos oyentes sabrán, pero quizás lo recordamos, como el algoritmo RSA, es utilizar un problema que sea fácil en una dirección y muy difícil en la contraria. Por ejemplo, un problema muy fácil es multiplicar dos números primos. Yo multiplico dos números primos y obtengo lo que se llama la clave pública. Pero el problema inverso es mucho más complicado: es factorizar un número primo. Si tengo un número primo de 2048 bits, es un número primo enorme, con una enorme cantidad de dígitos decimales; semiprimo, para ser preciso, ¿no? En este caso es semiprimo porque es un producto, es un producto de dos primos, semiprimo o biprimo. Entonces, tengo este número muy largo: factorizarlo es muy difícil. Pues aquí ocurre algo parecido, cuando yo con la operación suma de puntos en la curva elíptica tomo un producto escalar muy alto, por ejemplo, 1000P, 100.000P; un número, un chorizo de 256 bits de número multiplicado por P es un número enorme, que tiene una cantidad enorme de dígitos, multiplicado por P. Ahora invertir ese número para saber cuál era P es muy difícil, es muy costoso. Entonces esa es la idea del cifrado con clave pública con curvas helísticas. Por supuesto, en el cifrado no se usan curvas elípticas en el plano con números reales, se utilizan números enteros; se utiliza básicamente ZP con P, un número primo, es decir, se trabaja con un retículo discreto y lo que llamo curvalística es una versión discreta de la curva, pero aquí por seguridad se trabaja con un número P enorme; no se trabaja con Z3 012 o con Z5 01234, sino que trabaja con un número primo que tiene también 256 dígitos en binario, un chorizón de número primo. entonces todo esto complica mucho el cálculo y cómo, entonces, es muy robusto, con 256 bits, el algoritmo descifrado de Bitcoin es prácticamente a día actual, es prácticamente imposible de descifrar, de criptoanalizar ¿Cómo se podría hacer esto con un ordenador cuántico? Como lo de lo cuántico, el famoso algoritmo de factorización de números primos de Peter Schor de 1994, es un algoritmo que incluía Peter Schor en su artículo. La factorización de números primos y el cálculo del logaritmo discreto. ¿Por qué? Porque el cálculo del logaritmo discreto es la herramienta básica para criptoanalizar el algoritmo de curvas helísticas. La diferencia entre factorizar números primos y el algoritmo de logaritmo discreto es que si yo tengo que, digamos, criptoanalizar una clave con n bits, yo necesito, si es RSA, tengo que factorizar primos, necesito el doble en qubits, si es el algoritmo de curvas helísticas necesito el triple, con ese modo, ¿eh? Es decir, que si yo tengo una clave de 256 bits en Bitcoin, necesito como mínimo tres veces más qubits lógicos para poder descifrarla LIGO lógicos porque con físicos tienen un enorme error y entonces tengo que introducir algoritmos de corrección de errores Tener Una enorme cantidad de qubits físicos que aproximen cada qubit lógico. Por eso se estima que para descifrar y hackear Bitcoin necesitaré millones de qubits físicos con las tecnologías actuales, pues con 15 los han hecho estos chinos. Y claro, han multiplicado…
Significado #1 · Palabras #1
Francis Villatoro continúa explicando el concepto del cifrado con curvas elípticas, haciendo una analogía visual para facilitar su comprensión.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #1seguridad bitcoin algoritmo curvas elípticasclave bitcoin 256 bits rsaruido problema computación cuánticacifrado con curvas elípticas villatoroanalogía pinzas papel curva elípticarsa 2048 bits saracifrado con curvas elípticasanalogías visuales francis villatoroforma manguito clips papelcurvas helísticas definidascifrado bitcoin curva helísticacurva elíptica producto de puntoscaracterísticas matemáticas curvas elípticaslíneas secantes curvas elípticasreflexión eje x curva elípticasuma de un punto consigo mismotangente como límite secante villatorosuma curvas elípticas villatoropunto negativo reflejo sumaproducto escalar entero puntoalgoritmo rsa clave públicafactorizar número primo 2048 bitsclave pública producto de primosnúmero semiprimo biprimocifrado clave pública curvas elípticasoperación suma puntos curva elípticaproducto escalar alto francis villatoronúmero enorme chorizo de 256 bitscifrado curvas elípticas números enterosretículo discreto seguridad cifradocurvalística versión discreta curvanúmero primo enorme seguridadcifrado con curvas elípticas seguridadalgoritmo bitcoin bits descifrarfactorización números primos peter schorfactorización números primos criptografíalogaritmo discreto algoritmo curvas helísticascriptoanálisis clave rsa n bitsalgoritmo curvas elípticas necesita tripleclave bitcoin requiere qubits lógicosqubits físicos tienen enorme erroralgoritmos corrección errores necesarios…calcular ciertas cosas Pero ni calcula nada, ni ejecuta nada de Bitcoin, ni nada por el estilo O sea que esto probablemente es eso, es el clásico bulo de redes sociales que se convierte en noticias Pero me sirve como excusa Perdona, ya sabemos que el gran Problema de la computación cuántica es el ruido. Sí, exactamente. Sí, tal cual. Esto sirve como excusa para recordar algunos conceptos básicos sobre la seguridad Bitcoin. Bitcoin utiliza un algoritmo de firma digital basado en curvas elípticas y es un algoritmo que le permite utilizar una clave más corta que los algoritmos estándares de cifrado con clave pública como RSA. La clave que usa Bitcoin es de 256 bits y eso equivale a uno del orden de 3000 bits en. RSA. En RSA, como ya comentó Sara algunas veces, en los casos más exagerados se trabaja con 2048 o por ahí, no mucho más. La idea del cifrado con curvas elípticas. Una curva elíptica es una cosa que se parece, ¿acordáis esto de las pinzas para papel? Que son negras, que tienen una forma de triángulo y que tienen como dos, como un mango. Pues ese mango, la forma de ese mango es la forma de una. Curva elíptica, ¿vale? Una curva elíptica, si imaginamos en el plano, pues es una curva que baja en la parte positiva del plano. Tienes las ordenadas y las abscisas, el eje horizontal y el eje vertical. Baja, alcanza un mínimo, sube, tiene un máximo, vuelve a bajar y ahora cruza el eje X y abajo es completamente simétrica. Es como la forma del manguito ese de los clips estos de papel. Es parecido a los lazos que tienes en el fondo. Es parecido, lo que pasa es que no necesariamente se cruzan, normalmente no se cruzan. En las curvas elípticas cuando hay corte, lo que tienes es como un globo y después tienes la parte suave al lado, una especie de curva hiperbólica al lado. En las curvas helísticas básicamente son curvas definidas por un Polinomio en el plano que tiene la sisa, la coordenada vertical y cuadrado, igual a un polinomio cúbico en la coordenada horizontal. Yo qué sé, x al cubo más 7. La curva helística que se usa con Bitcoin, en el cifrado de Bitcoin, es y al cuadrado igual a x al cubo más 7. Es una curva extremadamente sencilla, y la curva elíptica tiene muchas propiedades, y una de ellas es que se puede definir una suma o producto, depende de cómo lo quieras llamar, una suma de puntos dentro de la curva. Yo puedo tomar dos puntos en la curva y puedo definir un nuevo punto al que llamo la suma de estos dos puntos. La idea es trazo una secante, una línea que pase por estos dos puntos y esa línea obligatoriamente me cortará a otro punto de la curva. Bien, pues ese otro punto de la curva no es la suma. La suma es la reflexión respecto a la línea horizontal, al eje X, de ese punto. Como la curva es simétrica, todo punto de la curva tiene un reflejado. Entonces la suma es trazar esa línea y reflejar un punto. Si yo tengo un único punto, también puedo sumar. Puedo sumar ese punto consigo mismo. Claro, una secante cuando yo aproximo los dos puntos se convierte en una tangente, entonces yo tomo un punto, tomo la tangente, lanzo la línea y obtengo otro punto que es el negativo, lo reflejo y obtengo el valor de la suma y puedo construir el punto 2, si tengo el punto P, puedo construir el punto 2P y por analogía con el 2P y el P puedo definir el 3P o con el 2P y el 2P obtener 4P, etc. Puedo tener lo que se llama un producto escalar, un número entero multiplicado por un punto. Pues esta es la idea. La idea de los algoritmos descifrados con clave pública, como ya muchos oyentes sabrán, pero quizás lo recordamos, como el algoritmo RSA, es utilizar un problema que sea fácil en una dirección y muy difícil en la contraria. Por ejemplo, un problema muy fácil es multiplicar dos números primos. Yo multiplico dos números primos y obtengo lo que se llama la clave pública. Pero el problema inverso es mucho más complicado: es factorizar un número primo. Si tengo un número primo de 2048 bits, es un número primo enorme, con una enorme cantidad de dígitos decimales; semiprimo, para ser preciso, ¿no? En este caso es semiprimo porque es un producto, es un producto de dos primos, semiprimo o biprimo. Entonces, tengo este número muy largo: factorizarlo es muy difícil. Pues aquí ocurre algo parecido, cuando yo con la operación suma de puntos en la curva elíptica tomo un producto escalar muy alto, por ejemplo, 1000P, 100.000P; un número, un chorizo de 256 bits de número multiplicado por P es un número enorme, que tiene una cantidad enorme de dígitos, multiplicado por P. Ahora invertir ese número para saber cuál era P es muy difícil, es muy costoso. Entonces esa es la idea del cifrado con clave pública con curvas helísticas. Por supuesto, en el cifrado no se usan curvas elípticas en el plano con números reales, se utilizan números enteros; se utiliza básicamente ZP con P, un número primo, es decir, se trabaja con un retículo discreto y lo que llamo curvalística es una versión discreta de la curva, pero aquí por seguridad se trabaja con un número P enorme; no se trabaja con Z3 012 o con Z5 01234, sino que trabaja con un número primo que tiene también 256 dígitos en binario, un chorizón de número primo. entonces todo esto complica mucho el cálculo y cómo, entonces, es muy robusto, con 256 bits, el algoritmo descifrado de Bitcoin es prácticamente a día actual, es prácticamente imposible de descifrar, de criptoanalizar ¿Cómo se podría hacer esto con un ordenador cuántico? Como lo de lo cuántico, el famoso algoritmo de factorización de números primos de Peter Schor de 1994, es un algoritmo que incluía Peter Schor en su artículo. La factorización de números primos y el cálculo del logaritmo discreto. ¿Por qué? Porque el cálculo del logaritmo discreto es la herramienta básica para criptoanalizar el algoritmo de curvas helísticas. La diferencia entre factorizar números primos y el algoritmo de logaritmo discreto es que si yo tengo que, digamos, criptoanalizar una clave con n bits, yo necesito, si es RSA, tengo que factorizar primos, necesito el doble en qubits, si es el algoritmo de curvas helísticas necesito el triple, con ese modo, ¿eh? Es decir, que si yo tengo una clave de 256 bits en Bitcoin, necesito como mínimo tres veces más qubits lógicos para poder descifrarla LIGO lógicos porque con físicos tienen un enorme error y entonces tengo que introducir algoritmos de corrección de errores Tener Una enorme cantidad de qubits físicos que aproximen cada qubit lógico. Por eso se estima que para descifrar y hackear Bitcoin necesitaré millones de qubits físicos con las tecnologías actuales, pues con 15 los han hecho estos chinos. Y claro, han multiplicado…
Francis Villatoro explica que 18 qubits no son suficientes para descifrar claves criptográficas complejas, especialmente cuando se utilizan algoritmos de curvas elípticas.
Habla: Francis VillatoroSignificado #7 · Palabras #7algoritmos curvas elípticas qubitsclaves criptográficas complejas qubitsdescifrar claves bits algoritmosfirma de claves elípticas postcuánticasbitcoin estrategia cerrada algoritmo públicocriptomonedas amenaza cuántica gil…pero que cada vez que leamos un artículo de este tipo, en 320 segundos con 18 qubits. Bueno, con 18 qubits en 320 segundos, con toda seguridad es un algoritmo mixto que combina una parte clásica con una parte cuántica. Pero aún así, tu poder real está en los Qubits, 18 qubits no es nada, o sea, lo que puedes descifrar son claves de muy poquitos bits; no puedes descifrar una clave y con este tipo de algoritmos de curvas elípticas del orden de tres veces menos si tienes 18 unos, 6 en el caso óptimo y esto es. Lo que yo quería contar, déjame añadir un pequeño apunte de criptomonedas, bueno, o de Bitcoin en particular. En los medios que han tratado esto dicen que no pasaría nada porque ya se han pensado en mecanismos para sustituir la firma de claves elípticas por otras, posiblemente postcuánticas. Eso no es posible, que nadie se engañe. Si tu dinero está en Bitcoin y alguien lo revienta, has perdido el dinero instantáneamente, porque Bitcoin es una estrategia cerrada, es un algoritmo público que está corriendo por ahí disperso en la red que no se puede modificar. Si se pudiese modificar, quiero decir, que sería un branch, sería otra criptomoneda distinta, o sea que cuidadito con donde. Ponéis el dinero. Sin embargo, hay cadenas de bloques, que es el nombre genérico, más modernas o más genéricas, como Ethereum, que tiene embebido en los propios algoritmos la posibilidad de actualizar la criptografía. Pero Bitcoin, que está donde yo sé, no.…
Gastón Giribet explica el concepto de curvatura utilizando un ejemplo sencillo con una esfera y su relación con la teoría general de la relatividad.
Habla: Gastón GiribetSignificado #14esfera ejemplo curvaturavector ecuador polo rotacióncurvatura infinitesimal relatividad generalholonomía infinitesimal lazo cero…más o menos dar una noción incluso sin recurrir en mucha matemática. Pero la teoría general de la relatividad... Cuando dices torcido te refieres como con una rotación...? No, claro, bueno, lo voy a explicar muy brevemente. ¿Qué quiere decir la curvatura? La curvatura es cuando yo tomo un vector y lo muevo paralelamente, lo voy transportando paralelamente a lo largo de un lazo cerrado pero no necesariamente cuando luego de ese lazo cerrado se cierra, cuando se concluye, volvió a ser el mismo vector que era originalmente Un ejemplo muy sencillo de esto es en una esfera, nosotros podemos pensar en trasladar un vector del ecuador paralelamente hacia el polo Luego trasladarlo por otro paralelo hacia el ecuador de vuelta y luego por el ecuador a su lugar original y vamos a ver que llegó rotado Entonces eso es porque justamente una esfera es una superficie curva La noción de curvatura de la relativa general en realidad se conoce como la curvatura infinitesimal Que es cuando este lazo tiende a cero, cuando este círculo cerrado tiende a cero a veces también llamado de una forma sofisticada holonomía infinitesimal. Ahora, la torsión es otra cosa: la torsión es cuando en un lazo cerrado el vector no solamente no llega a él mismo, sino que vuelve al mismo punto pero torcido; pero cuando un espacio encima está torcido, no solamente curvado, en un lazo cerrado no llega al…