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Francis VillatoroBorja TosarJuan Carlos GilGastón GiribetIgnacio Crespoaritméticas limitadas en ia pequeñapérdida de precisión al restarnúmeros con tres dígitos significativoscancelación catastrófica de dígitosnúmeros similares resta pérdida dígitosejemplo cancelación números 2 32x10-3pérdida de dígitos representación numéricalimitaciones iVoox tres dígitosresta números parecidos villatoro10 a la menos 11.0010 a la menos 1Francis Villatoro1.23 por 10 elevado a menos 25.32 por 10 elevado a 42.32 x 10^-364 bits
10 A la menos 1
Ep577: Planeta Enano; Errores en IAs; Romper Agujeros Negros; Habitabilidad Química; Virus y Monos
29 de octubre de 20264 momentos
Con
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Francis Villatoro explica cómo al restar dos números muy parecidos se produce una pérdida de dígitos debido a las limitaciones de representación numérica.
…el tamaño en el que yo quepo. Hace años se utilizaban aritméticas más pequeñas; en lugar de 64 bits se utilizaban 32 bits. Eso es lo que se llama coma simple, números flotantes en coma simple. E incluso hoy en día en redes neuronales se ha propuesto. El uso de aritméticas mucho más limitadas, con mantillas muy cortas, con muy pocos exponentes y que sorprendentemente están dando, sobre todo en problemas de no gran número de datos; no estamos hablando de los grandes modelos de lenguaje de las grandes empresas de IA, sino en modelos más pequeños, están dando muy buenos resultados, sorprendentemente. Eso para almacenar lo que es la red, todos los parámetros de la red. Cuando yo resto dos números muy parecidos, yo pierdo precisión. Vamos a ver el ejemplo más sencillo: Tres dígitos significativos. Números del tipo 1.23 por 10 elevado a menos 2 o 5.32 por 10 elevado a 4. Tengo tres dígitos. Yo puedo representar en tres dígitos mi número. Si yo tengo dos números, pi y el doble de pi, y lo resto, la diferencia tiene infinitos dígitos. Yo la puedo escribir con esos tres dígitos significativos pues la diferencia de Dos números, yo qué sé, 2.32 por 10 a la menos 3. Pero ¿qué pasa cuando yo resto dos números? Si yo resto dos números que son parecidos, yo pierdo dígitos. Eso se llama cancelación catastrófica. Si yo cojo por el número 1.00, el 1, por exponente elevado a 0, o sea, el número 1. 1.00, y de resto el número 9.999. Perdón, estamos tomando tres dígitos: 9.99 por 10 a la menos 1, es decir, el 0,999. Yo sé que la diferencia va a ser 0.0001, pero no me cabe en tres dígitos; en tres dígitos como mucho puedo poner un 1, 1.0010 a la menos 1 claro, si en realidad el número que yo estaba restando no Era 0,99, sino que era 0,999, sino que era 0,999, 8764321 pero que lo he redondeado a 0,99. Cuando yo hago la resta en memoria, lo que me queda es un número que tiene un solo dígito significativo: 0,001. El resto de los dígitos se han perdido; tengo un error…
Significado #1 · Palabras #4
Francis Villatoro explica cómo se almacenan números en ordenadores, específicamente aquellos con una mantisa y un exponente, como 1.32 por 10 elevado a menos 14.
Habla: Francis VillatoroPalabras #14números con mantisa y exponentealmacenamiento binario de númerosmantiza en binario iVooxbit de signo en números…que tenemos dos números que son muy parecidos y yo los resto. Si yo tengo, claro, en el ordenador yo tengo que almacenar los números en un tamaño finito. Normalmente por defecto en los procesadores que estamos usando se trabaja con 64 bits, con 8 bytes. Entonces, en esos 64 bits hay que meter un número que tiene una mantiza y un exponente Un número, por ejemplo, 1,32 por 10 elevado a menos 14 El menos 14 es el exponente, por supuesto los números se almacenan en binario Y sería 2 elevado a menos el número que corresponda Pero bueno, para simplificarlo lo menciono en decimal Y tengo la mantiza, que es lo que multiplica a esa potencia Entonces cuando yo almaceno, almaceno la mantiza, que la mantiza siempre se almacena en binario empezando con un 1, con lo que todos los números es 1.cosas, luego ese bit de 1 no se almacena, lo que se almacena ahí es el signo, positivo o negativo del número y meto, digamos, el resto de los dígitos de la mantiza y el exponente. Pues lo que ocurre es que, claro, todo número ha de ser truncado o redondeado para que quepa en ese tamaño. Cuando yo tengo dos números, el tamaño de esa mantiza es lo que se llama la precisión del número. La precisión en la aritmética numérica, en la…
Francis Villatoro explica cómo al restar dos números muy parecidos se produce una pérdida de dígitos debido a las limitaciones de representación numérica.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #4aritméticas limitadas en ia pequeñapérdida de precisión al restarnúmeros con tres dígitos significativoscancelación catastrófica de dígitosnúmeros similares resta pérdida dígitosejemplo cancelación números 2 32x10-3pérdida de dígitos representación numéricalimitaciones iVoox tres dígitosresta números parecidos villatoro…el tamaño en el que yo quepo. Hace años se utilizaban aritméticas más pequeñas; en lugar de 64 bits se utilizaban 32 bits. Eso es lo que se llama coma simple, números flotantes en coma simple. E incluso hoy en día en redes neuronales se ha propuesto. El uso de aritméticas mucho más limitadas, con mantillas muy cortas, con muy pocos exponentes y que sorprendentemente están dando, sobre todo en problemas de no gran número de datos; no estamos hablando de los grandes modelos de lenguaje de las grandes empresas de IA, sino en modelos más pequeños, están dando muy buenos resultados, sorprendentemente. Eso para almacenar lo que es la red, todos los parámetros de la red. Cuando yo resto dos números muy parecidos, yo pierdo precisión. Vamos a ver el ejemplo más sencillo: Tres dígitos significativos. Números del tipo 1.23 por 10 elevado a menos 2 o 5.32 por 10 elevado a 4. Tengo tres dígitos. Yo puedo representar en tres dígitos mi número. Si yo tengo dos números, pi y el doble de pi, y lo resto, la diferencia tiene infinitos dígitos. Yo la puedo escribir con esos tres dígitos significativos pues la diferencia de Dos números, yo qué sé, 2.32 por 10 a la menos 3. Pero ¿qué pasa cuando yo resto dos números? Si yo resto dos números que son parecidos, yo pierdo dígitos. Eso se llama cancelación catastrófica. Si yo cojo por el número 1.00, el 1, por exponente elevado a 0, o sea, el número 1. 1.00, y de resto el número 9.999. Perdón, estamos tomando tres dígitos: 9.99 por 10 a la menos 1, es decir, el 0,999. Yo sé que la diferencia va a ser 0.0001, pero no me cabe en tres dígitos; en tres dígitos como mucho puedo poner un 1, 1.0010 a la menos 1 claro, si en realidad el número que yo estaba restando no Era 0,99, sino que era 0,999, sino que era 0,999, 8764321 pero que lo he redondeado a 0,99. Cuando yo hago la resta en memoria, lo que me queda es un número que tiene un solo dígito significativo: 0,001. El resto de los dígitos se han perdido; tengo un error…
Francis Villatoro explica una técnica para evitar problemas numéricos al usar la función Softmax en redes neuronales.
Habla: Francis VillatoroSignificado #7aritmética flotante y números pequeñostamaño de almacenamiento exponente insuficientearitmética simple 10 elevado a 80exponencial de menos 18 aritmética…diferencia. Se utilizan logaritmos, normalmente logaritmos neperianos, pero bueno, imaginemos que fueran logaritmos en base 10: serían 18 órdenes de magnitud, es una barbaridad, ¿por qué? Porque si utilizo una aritmética flotante, una aritmética numérica, por Ejemplo, coma simple, ya esa diferencia es tan grande que cuando comparo un número con el otro, el más pequeño es prácticamente cero y se va, no lo tengo en cuenta. Aquí normalmente se suele, claro, para evitar este tipo de grandes saltos en magnitud, sobre todo evitar que la exponencial se me salga, porque la exponencial 10 elevado a 200, 10 elevado a 300 en aritmética doble y 10 elevado a 80 o por ahí en aritmética simple ya se me salen, se me salen desde el tamaño que puedo almacenar, no tengo el exponente suficientemente grande. Entonces para evitar eso lo que se hace. Es restar el máximo de los valores de los logits, en mi caso eran 1 menos 9, 9. El máximo es 9, resto 9, entonces el 9 lo convierto en 0; la exponencial de 0 vale 1 y el 1 lo convierto en menos 8. La exponencial de menos 8 es un número pequeñito, pero bueno, está bien comparado con 1, pero la exponencial del otro menos 9 ahora es la exponencial de menos 18 y la exponencial de menos 18 en mucha aritmética podría ser 0. Y si usáis aritmética doble, pues pongamos entonces números del orden de 64, que yo tengo 400 categorías y las he ordenado entre el 1 y el 400. Ya tengo una diferencia enorme, 400 órdenes de magnitud cuando aplique las exponenciales. Eso hace que cuando yo aplique las exponenciales, algunos números pequeños desaparecen,…
Francis Villatoro explica cómo el cálculo de probabilidades en redes neuronales puede llevar a resultados constantes debido a la magnitud relativa de los números.
Habla: Francis VillatoroSignificado #3cálculo probabilidades redes neuronalesnúmeros pequeños suman cero relativogradientes cero aritmética usada…Pero en el entrenamiento yo trato de calcular esos gradientes para que la respuesta correcta de la red neuronal, claro, la respuesta correcta tiene asociado el mayor logik, es decir, la mayor probabilidad, es decir, con esta normalización la probabilidad Igual a 1 y los demás tienen probabilidades muy pequeñas. Hay circunstancias en las que todas las probabilidades de los demás son muy pequeñas, con lo que cuentan como si fueran cero. Porque yo tengo un número que es 1 dividido entre ese número 1 más todos los demás números. Pero los demás números son tan pequeños que suman 0. Son 0 relativo al 1 en el tamaño de la aritmética que yo estoy usando. El resultado final es que obtengo 1 dividido entre 1. Pero claro, 1 dividido entre 1 es un valor constante. Cuando calculo los gradientes, los gradientes son 0 y. entonces cuando yo tendría que corregir en el entrenamiento los pesos para que se ajustara mejor la red, resulta que no puedo corregir el gradiente asociado al valor correcto; no lo puedo corregir porque todos los gradientes son cero y puedo corregir, sin…