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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoFrancis VillatoroJuan Carlos GilJosé EdelsteinHéctor SocasGastón Giribetmultiplicación números complejos puntoplano número complejo vectormultiplicación vectorial da un vectorproducto de dos vectores perpendicularnúmeros complejos producto definidonúmeros complejos con regla i cuadradoproducto vectorial de números complejosregla de i cuadrado menos 1multiplicación distributiva números complejosnúmeros complejos curso josé edelsteinrepresentación vectorial números complejosproducto de vectores plano complejoproducto vectorial números complejosasignatura números complejos jose edelsteinvariable real números complejosJosé EdelsteinFrancis VillatoroHéctor Socasmatrices 2x2Gastón GiribetNatureFlammarionGirolamo Cardanosiglo XVI
Representación vectorial Números complejos
Con
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José Edelstein explica su método para introducir a los estudiantes los números complejos en su curso, evitando mencionar la unidad imaginaria 'i' y centrándose en la representación vectorial y el producto resultante.
…cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas sobre la mesa; tienes un nuevo cuerpo de los números complejos y con él puedes empezar a hacer funciones en variable compleja, derivadas, integrales, etcétera, etcétera. Si bien es cierto lo que tú dijiste, que uno puede prescindir de los números complejos, déjame hacer un comentario que creo que es importante. La multiplicación de los números complejos, cuando uno lo piensa el número complejo como un punto del plano o como el extremo de la flechita de un vector, eso vale para la suma, no hay que agregar ningún comentario, los números complejos se suman como si fueran vectores. en el plano, pero no para la multiplicación, porque de Hecho, la única multiplicación de vectores que da un vector es la multiplicación vectorial, así se llama, y algunos de los oyentes que han hecho alguna carrera científica saben que el producto de dos vectores da un tercer vector perpendicular a los dos anteriores y por lo tanto en el plano no puedo definir un producto vectorial. Entonces, el producto de los números complejos es un producto que lo único que hace es Se puede definir otro. producto vectorial diferente Bueno, exactamente, pero ese producto vectorial diferente en realidad es el producto que sale sencillamente de decir i cuadrado igual a menos 1 Con solo esa regla, y ahora tú agarras un número que es a más b por i, o sea 3 más 5i multiplicado por 2 menos 4i distributiva y solo i cuadrado igual a menos uno, te realiza ese producto rarísimo vectorial. Yo cuando doy el curso, y voy cerrando esta parte introductoria, presento los números complejos sin hablar de i, hablando justamente de vectores en el plano y mostrando el producto. Les muestro que el producto que se define es rarísimo, tiene un signo menos, una parte que es un poco Antiintuitivo, es conmutativo, tiene propiedades muy buenas de producto, pero es raro. Y les digo: toda la magia, los números complejos, básicamente está en ese producto. De hecho, cuando empezamos a avanzar en la asignatura, les voy mostrando que todo lo que vamos haciendo, que no involucra productos, es igual que en variable real, directamente igual. De hecho lo despacho diciendo: ahora vamos a definir, no sé, límite y continuidad, pues nada, dura dos minutos esa parte, pues les digo, agarren los apuntes de métodos 1, métodos matemáticos 1, y donde dice X pongan Z, que es el nombre que les los tenemos ahora la variable compleja y ya está, es todo igual. Pero…
Significado #1 · Palabras #2
Héctor Socas explica cómo los números complejos son una extensión más general de los números reales, permitiendo resolver ecuaciones algebraicas que no tienen solución en el dominio real.
Habla: Héctor SocasSignificado #10 · Palabras #15números complejos extensión números realesecuaciones algebraicas con números complejosdominio de números complejosnúmeros complejos para ecuaciones algebraicasraíz cuadrada de menos 1…tú estás pensando en el dominio de los reales, hay ecuaciones algebraicas muy sencillas que no tienen una solución real; típicamente pues x cuadrado más 1 igual a cero, x cuadrado igual a menos 1. No existe ningún número real que satisfaga esa ecuación, ¿no? Entonces, se introducen los números complejos como una no una extensión, como algo más general que los números reales, que sí que, dentro del dominio de los números complejos, cualquier ecuación algebraica en la que se usen números complejos para los coeficientes y se considera el dominio de los números complejos, tiene. una solución que está dentro de los números complejos. Entonces nos quedamos más satisfechos porque el resultado se queda ahí dentro. ¿Y qué son los números complejos? Pues decía yo, la ecuación está x cuadrado igual a menos 1, sabemos que el menos 1 no tiene una raíz cuadrada, no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de menos 1, no hay ningún número real que cumpla eso. entonces uno puede decir, bueno, imaginemos que hay un número que no es real, lo llamamos imaginario, por lo que sea, pues un número imaginario tal que al multiplicarlo por sí mismo de menos uno ese número no está entre los reales pero vamos a suponer que…
Héctor Socas continúa explicando la naturaleza de los números complejos, comparándolos con vectores de dos componentes.
Habla: Héctor SocasSignificado #3 · Palabras #4números imaginarios unidad imaginariacardinalidad similar a números realesraíces de números negativosnúmeros complejos parte realnúmeros reales multiplicados unidad imaginariapropiedades de números complejos multiplicaciónnúmeros complejos como vectoresespacio vectorial de dos dimensionesmultiplicación en números complejoshector socas explica números complejosnúmeros complejos en matemáticasjose edelstein enseña números complejosnúmeros complejos en físicacircuitos con corriente alternatransitorios en electricidadplano real resultados físicos…tal que al multiplicarlo por sí mismo de menos uno ese número no está entre los reales pero vamos a suponer que existe y esa es la unidad de los números imaginarios y a partir de ahí yo puedo construir números imaginarios multiplicando un número real Por esa unidad imaginaria. Entonces, ahí tengo toda una serie de números, todo un conjunto de números que tiene la misma cardinalidad que el de los reales, pero que son números que tienen esta propiedad, de que son solución de estas raíces de números negativos y luego los números complejos. Se construyen simplemente sumando un número real con uno de estos números imaginarios. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria; hasta aquí todo bien. Se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar; tienen todas esas propiedades y ¿qué pasa? Que un número complejo en realidad uno lo puede ver como un par de números reales. Un número complejo tiene una parte real que es un número real y una parte imaginaria que es otro número real multiplicado por la unidad imaginaria, entonces yo los puedo ver como un par de números. Como si fueran vectores de dos componentes donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, y además funciona bien porque yo puedo sumar números complejos y se comporta igual que cuando sumo vectores; puedo incluso definir una multiplicación, puedo definir un espacio vectorial de dos dimensiones con pares de números reales, un espacio vectorial real de dimensión 2 que funcione exactamente igual que los números complejos, los que yo pueda sumar, pueda hacer multiplicaciones y se cumplan las mismas reglas. Entonces esto ha sido muy útil; hay toda una matemática de los números complejos y José, creo que además precisamente cuando nos deja en programas como el de hoy es porque se va justamente a enseñarle números complejos a sus estudiantes. Así que todo esto lo podrías estar explicando tú mejor que yo, pero entonces yo no tendría nada que decir; así que explico yo esta parte introductoria y ya está. ¿Y qué pasa? Que esto es muy útil en física; hay muchos problemas que se resuelven gracias a todos los trucos y todas las herramientas de cálculo que hemos aprendido para trabajar con los números complejos y en muchos ámbitos de la física, típicamente en electricidad, por ejemplo, para estudiar transitorios, para estudiar circuitos con corriente alterna, viene muy bien; pero al final uno termina volviendo al plano real con sus resultados después de haberse ido al mundo complejo para hacer los cálculos intermedios. Entonces son como una herramienta que permite facilitar muchos cálculos y trabajar y resolver muchos problemas. y aquí es donde entra la mecánica cuántica, resulta que las formulaciones que se hicieron de la mecánica cuántica desde el principio si pensamos en la ecuación de Schrodinger vemos que en una parte está el hamiltoniano y en otra parte está la derivada del…
Héctor Socas plantea una duda sobre si el uso de números complejos es esencial en mecánica cuántica o solo facilita los cálculos.
Habla: Héctor SocasSignificado #8 · Palabras #7números complejos en mecánica cuánticasustitución de números complejos por realesespacio vectorial de dimensión dobleálgebra compleja y operaciones vectoriales…tú calculas una probabilidad de medida son probabilidades, son reales porque al final es el módulo al cuadrado de los coeficientes y eso es un número real. Entonces al final tú te quedas con números reales pero todo el cálculo subyacente es con complejos. Entonces, está un poco la duda, existió de ahí siempre sobre si el uso de números complejos es algo fundamental en la mecánica cuántica o es simplemente algo que nos facilita el cálculo; porque uno puede, como yo decía antes, un número complejo lo puede sustituir por un par de números reales, puede considerarlo como un vector y de hecho todas estas formulaciones se pueden hacer si uno sustituye esa álgebra compleja por operaciones en un espacio vectorial de dimensión el doble de la dimensión del original, con números reales. Entonces, bueno, parecía que como que no era muy fundamental, sino más bien lo de la facilidad de cálculo. Pero ese debate siempre había estado un poco como ahí de fondo, ¿no? Porque además esto se presta mucho a la mística esta de la mecánica cuántica, ¿no?…
José Edelstein continúa la discusión sobre el uso de números complejos en física cuántica, ejemplificando con la solución a ecuaciones sin respuesta como hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI.
Habla: José EdelsteinSignificado #18girolamo cardano siglo xvinúmero complejo elevado al cuadradocuerpo de números complejosfunciones derivadas integrales ciencia…yo arranco comentando, como tú lo dijiste, que la ecuación X cuadrado más 1 igual a 0 es una ecuación insultantemente simple y entonces el hecho de que no tenga solución nos enfrenta a dos posibilidades, o resignarnos y decir, pues, ¿qué le vamos a hacer? La vida es así de cruel, o lo que hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI, que fue decir: pues, venga, si no la hay, la pongo yo, la creo yo. Y es un número que se llama i, que elevado al cuadrado a menos uno y luego cuando uno empieza con ese número a preguntarse ¿puedo multiplicar ese número por un número real? ¿Puedo sumarlo a un número real? Y uno empieza a jugar algebraicamente con eso, se da cuenta de que los números complejos estructuran algo que se llama cuerpo, que tiene una serie de propiedades: suma, multiplicación, inverso, elemento neutro, bueno, exactamente igual que los números reales y por lo tanto cuando uno aprende funciones derivadas integrales, todo lo que uno aprende en una carrera científica o técnica. Si uno va a la primera clase o segunda clase de esas materias, de la materia en la cual uno aprende a derivar, a integrar, etcétera, análisis, uno ve que lo que necesita para poder desarrollar un análisis es un cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas…
José Edelstein explica su método para introducir a los estudiantes los números complejos en su curso, evitando mencionar la unidad imaginaria 'i' y centrándose en la representación vectorial y el producto resultante.
Habla: José EdelsteinSignificado #1 · Palabras #2multiplicación números complejos puntoplano número complejo vectormultiplicación vectorial da un vectorproducto de dos vectores perpendicularnúmeros complejos producto definidonúmeros complejos con regla i cuadradoproducto vectorial de números complejosregla de i cuadrado menos 1multiplicación distributiva números complejosnúmeros complejos curso josé edelsteinrepresentación vectorial números complejosproducto de vectores plano complejoproducto vectorial números complejosasignatura números complejos jose edelsteinvariable real números complejos…cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas sobre la mesa; tienes un nuevo cuerpo de los números complejos y con él puedes empezar a hacer funciones en variable compleja, derivadas, integrales, etcétera, etcétera. Si bien es cierto lo que tú dijiste, que uno puede prescindir de los números complejos, déjame hacer un comentario que creo que es importante. La multiplicación de los números complejos, cuando uno lo piensa el número complejo como un punto del plano o como el extremo de la flechita de un vector, eso vale para la suma, no hay que agregar ningún comentario, los números complejos se suman como si fueran vectores. en el plano, pero no para la multiplicación, porque de Hecho, la única multiplicación de vectores que da un vector es la multiplicación vectorial, así se llama, y algunos de los oyentes que han hecho alguna carrera científica saben que el producto de dos vectores da un tercer vector perpendicular a los dos anteriores y por lo tanto en el plano no puedo definir un producto vectorial. Entonces, el producto de los números complejos es un producto que lo único que hace es Se puede definir otro. producto vectorial diferente Bueno, exactamente, pero ese producto vectorial diferente en realidad es el producto que sale sencillamente de decir i cuadrado igual a menos 1 Con solo esa regla, y ahora tú agarras un número que es a más b por i, o sea 3 más 5i multiplicado por 2 menos 4i distributiva y solo i cuadrado igual a menos uno, te realiza ese producto rarísimo vectorial. Yo cuando doy el curso, y voy cerrando esta parte introductoria, presento los números complejos sin hablar de i, hablando justamente de vectores en el plano y mostrando el producto. Les muestro que el producto que se define es rarísimo, tiene un signo menos, una parte que es un poco Antiintuitivo, es conmutativo, tiene propiedades muy buenas de producto, pero es raro. Y les digo: toda la magia, los números complejos, básicamente está en ese producto. De hecho, cuando empezamos a avanzar en la asignatura, les voy mostrando que todo lo que vamos haciendo, que no involucra productos, es igual que en variable real, directamente igual. De hecho lo despacho diciendo: ahora vamos a definir, no sé, límite y continuidad, pues nada, dura dos minutos esa parte, pues les digo, agarren los apuntes de métodos 1, métodos matemáticos 1, y donde dice X pongan Z, que es el nombre que les los tenemos ahora la variable compleja y ya está, es todo igual. Pero…
José Edelstein argumenta que los números reales son una simplificación de los números complejos, comparándolos con cómo los números naturales son una sombra de los números reales.
Habla: José EdelsteinSignificado #9derivada de números complejosintegral de números complejosestructura cuerpo números complejosclase de josé edelsteinnúmeros reales sombra de números complejosecuación algebraica con números complejos…ahora la variable compleja y ya está, es todo igual. Pero cuando hay productos, todo cambia. Y hay productos, tanto en la derivada, los que sepan la definición de derivada, hay un producto, un cociente que es lo mismo que un producto implicado, y en la Integral, que hay un producto mucho más manifiesto todavía. Por lo tanto, la derivada de números complejos y la integral de números complejos tienen propiedades muy diferentes y mucho más fuertes. Los números complejos tienen una estructura como cuerpo mucho más noble, por así decirlo, que los números reales; cuando uno lo aprende, y yo digo esto en clase, si uno tiene una mentalidad un poco matemática en la cual sospecha que el universo se va a aprovechar de Aquellas cosas que son elegantes y robustas uno no tiene ninguna, yo diría; acá puede ser que, no sé si, creo que ni Gastón ni Francis se van a oponer a esto, pero que la matemática está, la realidad está escrita en números complejos, o sea los números reales son una sombra de números complejos, como los números naturales son una sombra de números reales, pero los números complejos son, no solo permiten resolver cualquier ecuación algebraica como bien decías, sino que además son la forma en la cual se escribe naturalmente todo prácticamente. Dicho esto y perdón que me alargo, pero es que como me voy a ir, digo. Todo bien. Alárgate todo lo que quieras. Largo todo mi rollo. Dicho esto, uno siempre puede deshacer todo y duplicando las dimensiones, sí es cierto. Pero es cierto que a medida que uno va avanzando en el tipo de operaciones que uno va realizando, cada vez es…
José Edelstein explica cómo la unidad mínima de información en un sistema complejo, un qubit, utiliza números complejos para representar una superposición de valores.
Habla: José EdelsteinPalabras #14qubit unidad mínima informaciónnúmeros complejos superposición de valoresespacio de dos planos complejoscuatro grados de libertad qubit…cuántica y lo adaptas para que te dé lo mismo, lo vas a poder hacer, pero eso mucha gracia no tiene porque creo yo en mi opinión: porque en realidad si tú dices vamos a fiarnos de los números reales, empiezas a llegar a conclusiones erróneas muy rápidamente. Pongo un ejemplo muy simple, que es un qubit, la unidad mínima de información que guarda un sistema complejo, algo que tiene dos valores, como el 0-1 binario, pero que todos han escuchado hablar que en la mecánica cuántica uno puede tener una superposición del 0 y 1, y los números que multiplican al 0 y al 1 en esa superposición son números complejos, por lo tanto un qubit vive, habita naturalmente un espacio que es el de dos planos complejos, el plano complejo al cuadrado, tiene cuatro grados de libertad, dos qubits independientes, bueno tienen ocho, porque son cuatro más cuatro ocho, que en el fondo es multiplicar por dos los dos que tiene cada qubit, dos por dos cuatro, pero como es un número complejo lo duplico y me da ocho. Si uno arranca de entrada con variable real y diciendo que el qubit tiene 4 grados de libertad, cuando pongo 2 qubits lo que te lleva naturalmente es decir 4x4 es 16, que no es el número real de los grados de libertad. Claro, si uno ya sabe que no te tiene…
Gastón Giribet aclara que el uso de matrices para representar números complejos es una forma alternativa de escritura, y que aunque se les llame diferente, siguen siendo equivalentes a los números complejos tradicionales.
Habla: Gastón GiribetSignificado #6 · Palabras #12matrices 2x2 de josé edelsteinoperador real cuadrado menos unoestructura algebraica isomorfa a números complejosnúmeros imaginarios en matrices realesnúmeros complejos representados con matricesmatrices al cuadrado dan menos uno…las afirmaciones, pero pasando la palabra compleja real, ¿eso me da lo mismo? La respuesta es no. ¿Cómo lo veo con este experimento? Que lo realice alguien. Y luego se realizó. Y el resultado de eso le da la razón a la versión de los números complejos. Claro. Análisis subsecuentes pueden decir: ah, pero también si mantengo los números reales, pero agrego un operador que en realidad el cuadrado sea menos uno, pero es un operador real. Entonces sí puedo, bueno, maestro, sí, claro. O sea, ¿por qué? Porque hay que entender muy bien qué significa escribir. Si yo multiplico matrices con números reales, nunca menciono la i, ni la palabra imaginario, ni la palabra complejo en mi vida. Hago matrices con números imaginarios, pero son matrices que son un número menos un número, o sea, a menos b, b, a, son todos reales. Pero si yo multiplico esa matriz, es lo mismo que multiplicar la i, es lo que decía José antes, cuando dijo las matrices 2x2. Entonces, no estoy usando un número complejo, mentira maestro, estás usando una estructura algebraica isomorfa y el número complejo es esa entidad algebraica subyacente, no la. Forma en la que a vos se te ocurre escribirla. Entonces estás usando números complejos solamente que he escrito con matrices porque esto es un retardado, pero es la i de toda la vida, no la llamaste i, la llamaste matriz, pero al cuadrado te da menos uno, entonces ¿qué ven i con? Entonces hay muchos trabajos que son eso, no; lo que pasa es que son reales pero en un espacio en el cual existe un proyector que al cuadrado que lo traigo de afuera. Bueno, claro, si empezás a poner demasiada estructura de afuera, sí, podés hacer casi…
Gastón Giribet explica cómo se utilizan los números complejos en la mecánica cuántica para obtener resultados reales, destacando su importancia más allá de ser simplemente una herramienta conveniente.
Habla: Gastón GiribetSignificado #12números complejos en mecánica cuánticafunción de onda compleja integradaresultados reales desde números complejoscomodidad física de números complejos…intermedios para llegar a él no hayan demandado, no solamente podido ser posible, sino exigido el cálculo a través de números que son complejos; porque en mecánica cuántica, cuando uno calcula la probabilidad, que repito, siempre va a ser un número real y Positivo, primero eleva al cuadrado una función de onda que es complejo y la integra en todo el espacio. Entonces, necesitó el número complejo para producir ese número real. ¿Y por qué es importante esto? Porque los números complejos hasta la mecánica cuántica habían sido para los físicos solamente una comodidad, lo que es una incomodidad para el estudiante, pero para el físico es una comodidad, por ejemplo cuando uno resuelve circuitos eléctricos. Muchas veces para no andar trabajando con senos y cosenos que son molestos, uno escribe la corriente como si fuera un número complejo. Obviamente, la corriente no es un número complejo; son un montón de electrones pasando por un cable, pero la escribe como…
Gastón Giribet explica que los números complejos son fundamentales en diversos campos de la física, desde la óptica hasta la electricidad, y que su uso va más allá de una simple comodidad de cálculo, siendo incluso una exigencia del formalismo en mecánica cuántica.
Habla: Gastón GiribetSignificado #16números complejos en físicaformalismo en mecánica cuánticaresonancia sistema simple mecánica…la difracción o la interferencia, con exponenciales complejas. Es mucho más cómodo porque usar cosenos y senos hay que acordarse que el seno de A más B es igual al coseno. Puede hacerlo pero es mucho más fácil. A último momento uno toma la parte real de todo. Entonces, en la física los números complejos son ubicuos, o sea, están en la óptica, en la electricidad, en un montón de cosas. Ahora, es más cuando calcula resonancia el sistema simple de mecánica, pero al final del día uno siempre entendía que era una comodidad de cálculo. Ahora, mecánica cuántica es más que una comodidad de cálculo, es una exigencia del formalismo. Bueno, eso es lo que se pone en tela de juicio. Al menos la pregunta. Es natural, porque es la primera vez que necesito y no me siento cómodo con esta estructura. Bueno, todo parece indicar que los números complejos son, en ese sentido, necesarios. Cuando se discute en esto, me recuerdo un artículo de Cuanta del 2023 que hacía…
Francis Villatoro explica la importancia del producto en el problema de representar números complejos como reales en mecánica cuántica.
Habla: Francis VillatoroPalabras #1producto tensorial en sistemas cuánticosnúmeros complejos como reales mecánica cuánticaproblema al representar números complejosproducto interno en mecánica cuánticatensor para números complejos realesfrancis villatoro y números complejos…de la naturaleza, la naturaleza me dice que eso está equivocado, tengo que tocar otros axiomas de la mecánica cuántica, otras leyes de la mecánica cuántica para adecuadamente tuneadas conseguir que se siga describiendo la realidad Qué cosa tan curiosa, ¿no? Eso que acabas de decir: que el mayor problema es a la hora de pegar esos sistemas que básicamente es hacer el producto tensorial, que es el producto interno, que multiplica dos vectores y te da otro vector, y es justamente cuando uno piensa en representar los números complejos como reales, es donde, como decíamos al principio, tienes un poco el problema. Lo puedes hacer, pero tienes que definir un producto interno de esos dos vectores que te den otro vector, que no es el natural, no es el producto vectorial de toda la vida, ¿no? El producto es donde está la madre del cordero, ¿no? De todo este problema. Vale, hay que cuidar las palabras, ¿no? Producto interno suele ser un producto de dos vectores que te dan un número real. Y producto vectorial es un producto que te da un vector. Bueno, aquí esto es pegarlo, es hacer un tensor, es El producto típico de conjuntos. Perdona, interno no es que es dentro del mismo grupo, o sea, que multiplicas dos elementos del grupo y obtienes otro elemento del grupo. El producto escalar se suele llamar producto interno también. Me parece que el escalar es…
Gastón Giribet continúa la conversación sobre la relación entre los números complejos y la realidad física, comparándolos con el código fuente que subyace a una pantalla de números reales.
Habla: Héctor SocasSignificado #11números complejos como código fuenteanalogía de josé números complejosilustración flammarion números complejos…de nuestra capacidad de observar, que opera en engranajes complejos y que al final nos presenta a nosotros una pantalla de números reales. Y Einstein pensaba que había otra por debajo incluso, menos mal que esa se la cargó él: la de las variables ocultas. No, pero me gusta la analogía de José: de pensar que los números complejos son con el código fuente y nosotros estamos solamente mirando la pantalla. Hay que esperar al arquitecto; el arquitecto lo ve todo. Ya tengo trabajo para mi journey. Me dan ganas de hacer una ilustración como la de esa de Flammarion, que se ve el hombre metiendo la cabeza para ver lo que hay detrás del cortinaje de estrellas, ¿no? Pues algo así y ve un montón de números complejos detrás. ¡Qué bonito! Pero en cierto sentido, bueno, la manera de entender realmente por qué los números complejos son ventajosos para la descripción de la naturaleza, pues viene de los trabajos post-cochí, ¿no? de todo el trabajo, por ejemplo, de Riemann, de entender lo que es la…