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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoFrancis VillatoroJuan Carlos GilJosé EdelsteinHéctor SocasGastón Giribetgirolamo cardano siglo xvinúmero complejo elevado al cuadradocuerpo de números complejosfunciones derivadas integrales ciencianúmeros complejos para análisisfunciones en variable complejaderivadas integrales con números complejoscálculo requiere cuerpo algebraicoGirolamo Cardanosiglo XVIFrancis VillatoroNewtonsiglo XVIIIRiemannJosé Edelsteinintegral de CauchyHéctor SocasCauchyAnálisis realAnálisis complejoTomás VilaGastón Giribet
Funciones derivadas integrales Ciencia
Con
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José Edelstein continúa la discusión sobre el uso de números complejos en física cuántica, ejemplificando con la solución a ecuaciones sin respuesta como hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI.
…yo arranco comentando, como tú lo dijiste, que la ecuación X cuadrado más 1 igual a 0 es una ecuación insultantemente simple y entonces el hecho de que no tenga solución nos enfrenta a dos posibilidades, o resignarnos y decir, pues, ¿qué le vamos a hacer? La vida es así de cruel, o lo que hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI, que fue decir: pues, venga, si no la hay, la pongo yo, la creo yo. Y es un número que se llama i, que elevado al cuadrado a menos uno y luego cuando uno empieza con ese número a preguntarse ¿puedo multiplicar ese número por un número real? ¿Puedo sumarlo a un número real? Y uno empieza a jugar algebraicamente con eso, se da cuenta de que los números complejos estructuran algo que se llama cuerpo, que tiene una serie de propiedades: suma, multiplicación, inverso, elemento neutro, bueno, exactamente igual que los números reales y por lo tanto cuando uno aprende funciones derivadas integrales, todo lo que uno aprende en una carrera científica o técnica. Si uno va a la primera clase o segunda clase de esas materias, de la materia en la cual uno aprende a derivar, a integrar, etcétera, análisis, uno ve que lo que necesita para poder desarrollar un análisis es un cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas sobre la mesa; tienes un nuevo cuerpo de los números complejos y con él puedes empezar a hacer funciones en variable compleja, derivadas, integrales, etcétera, etcétera. Si bien es cierto lo que tú dijiste, que uno puede prescindir de los números complejos, déjame hacer un comentario que creo que es importante. La multiplicación de los números complejos, cuando uno lo piensa el número complejo como un punto del plano o como el extremo de la flechita de un vector, eso…
Significado #1 · Palabras #9
José Edelstein continúa la discusión sobre el uso de números complejos en física cuántica, ejemplificando con la solución a ecuaciones sin respuesta como hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI.
Habla: José EdelsteinSignificado #1 · Palabras #9girolamo cardano siglo xvinúmero complejo elevado al cuadradocuerpo de números complejosfunciones derivadas integrales ciencianúmeros complejos para análisisfunciones en variable complejaderivadas integrales con números complejoscálculo requiere cuerpo algebraico…yo arranco comentando, como tú lo dijiste, que la ecuación X cuadrado más 1 igual a 0 es una ecuación insultantemente simple y entonces el hecho de que no tenga solución nos enfrenta a dos posibilidades, o resignarnos y decir, pues, ¿qué le vamos a hacer? La vida es así de cruel, o lo que hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI, que fue decir: pues, venga, si no la hay, la pongo yo, la creo yo. Y es un número que se llama i, que elevado al cuadrado a menos uno y luego cuando uno empieza con ese número a preguntarse ¿puedo multiplicar ese número por un número real? ¿Puedo sumarlo a un número real? Y uno empieza a jugar algebraicamente con eso, se da cuenta de que los números complejos estructuran algo que se llama cuerpo, que tiene una serie de propiedades: suma, multiplicación, inverso, elemento neutro, bueno, exactamente igual que los números reales y por lo tanto cuando uno aprende funciones derivadas integrales, todo lo que uno aprende en una carrera científica o técnica. Si uno va a la primera clase o segunda clase de esas materias, de la materia en la cual uno aprende a derivar, a integrar, etcétera, análisis, uno ve que lo que necesita para poder desarrollar un análisis es un cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas sobre la mesa; tienes un nuevo cuerpo de los números complejos y con él puedes empezar a hacer funciones en variable compleja, derivadas, integrales, etcétera, etcétera. Si bien es cierto lo que tú dijiste, que uno puede prescindir de los números complejos, déjame hacer un comentario que creo que es importante. La multiplicación de los números complejos, cuando uno lo piensa el número complejo como un punto del plano o como el extremo de la flechita de un vector, eso…
José Edelstein explica que las derivadas e integrales de números complejos tienen propiedades más fuertes que las de los números reales, destacando la estructura superior de los números complejos como cuerpo.
Habla: José EdelsteinSignificado #5 · Palabras #3derivada de números complejosintegral de números complejosestructura cuerpo números complejosclase de josé edelstein…ahora la variable compleja y ya está, es todo igual. Pero cuando hay productos, todo cambia. Y hay productos, tanto en la derivada, los que sepan la definición de derivada, hay un producto, un cociente que es lo mismo que un producto implicado, y en la Integral, que hay un producto mucho más manifiesto todavía. Por lo tanto, la derivada de números complejos y la integral de números complejos tienen propiedades muy diferentes y mucho más fuertes. Los números complejos tienen una estructura como cuerpo mucho más noble, por así decirlo, que los números reales; cuando uno lo aprende, y yo digo esto en clase, si uno tiene una mentalidad un poco matemática en la cual sospecha que el universo se va a aprovechar de Aquellas cosas que son elegantes y robustas uno no tiene ninguna, yo diría; acá puede ser que, no sé si, creo que ni Gastón ni Francis se van a oponer a esto, pero que la matemática está, la realidad está escrita en números complejos, o sea los números reales…
Gastón Giribet explica cómo se utilizan los números complejos en la mecánica cuántica para obtener resultados reales, destacando su importancia más allá de ser simplemente una herramienta conveniente.
Habla: Gastón GiribetSignificado #13números complejos en mecánica cuánticafunción de onda compleja integradaresultados reales desde números complejoscomodidad física de números complejos…intermedios para llegar a él no hayan demandado, no solamente podido ser posible, sino exigido el cálculo a través de números que son complejos; porque en mecánica cuántica, cuando uno calcula la probabilidad, que repito, siempre va a ser un número real y Positivo, primero eleva al cuadrado una función de onda que es complejo y la integra en todo el espacio. Entonces, necesitó el número complejo para producir ese número real. ¿Y por qué es importante esto? Porque los números complejos hasta la mecánica cuántica habían sido para los físicos solamente una comodidad, lo que es una incomodidad para el estudiante, pero para el físico es una comodidad, por ejemplo cuando uno resuelve circuitos eléctricos. Muchas veces para no andar trabajando con senos y cosenos que son molestos, uno escribe la corriente como si fuera un número complejo. Obviamente, la corriente no es un número complejo; son un montón de electrones pasando por un cable, pero la escribe como…
Francis Villatoro describe la complejidad del análisis real y cómo este presenta desafíos significativos debido a la existencia de funciones con comportamientos inusuales.
Habla: Francis VillatoroSignificado #8 · Palabras #1trabajos post-cochí sobre integraciónriemann e integración complejaanálisis complejo curso de josé edelsteinintegral de cauchy y números complejosderivadas infinitas funciones complejasdiscontinuidad en funciones realesecuación diferencial variable complejafunciones reales con derivadas limitadasderivadas de funciones según villatoroanálisis real newton siglo xviiianálisis complejo siglo xxfunciones continuas no derivableslímites extraños de funciones realesintegrales extrañas en realesfrancis villatoro analiza el análisis real…para mi journey. Me dan ganas de hacer una ilustración como la de esa de Flammarion, que se ve el hombre metiendo la cabeza para ver lo que hay detrás del cortinaje de estrellas, ¿no? Pues algo así y ve un montón de números complejos detrás. ¡Qué bonito! Pero en cierto sentido, bueno, la manera de entender realmente por qué los números complejos son ventajosos para la descripción de la naturaleza, pues viene de los trabajos post-cochí, ¿no? de todo el trabajo, por ejemplo, de Riemann, de entender lo que es la integración y la derivación en el contexto de lo que ahora llamamos análisis complejo, que es básicamente lo que está contando José en su curso, porque lo que cuenta al principio de jugar con numeritos seguramente los alumnos ya lo saben, pero bueno, tiene que estudiar todo lo que es la integral de Cauchy, cómo se calculan integrales utilizando números complejos y la gran ventaja de las funciones en el análisis, estudia las funciones, Las funciones Complejas tienen la gran ventaja de que si una función tiene derivada, automáticamente tiene infinitas derivadas. O sea, en funciones reales, eso no es verdad. En funciones reales, una función puede tener tres derivadas, pero no tener la cuarta. La cuarta es ser discontinua. Con discontinuidad es evitable, finita, o incluso con discontinuidad es infinita, con saltos a infinito. Pero sin embargo en variable compleja no; en variable compleja si una función tiene derivada, es una función súper maravillosa, tiene infinitas derivadas, eso te, si tú planteas una ecuación diferencial, es una ecuación que tiene derivadas y que la solución es una función que cumpla con esa ecuación, en variable compleja de manera natural vas a tener una función con la que puedes jugar todo lo que te dé la gana. Pero en variable real no; en variable real Tienes que estar constantemente diciendo: espera un segundo, a ver, ¿esto realmente tiene derivada o no tiene derivada? ¿Hasta cuál derivada tiene? ¿Dónde están los problemas donde no tiene derivada? Es decir, el análisis real, el análisis con números reales, que para Newton y el siglo XVIII era la única opción, pero en el siglo XX descubrimos que el análisis Real es extremadamente complicado y que tiene una enorme cantidad de monstruos, de funciones súper raras. Hay funciones que son continuas, pero no son derivables en ningún punto. Hay funciones que tienen unos límites extrañísimos, unas integrales extrañísimas. O sea, jugar, calcular derivadas e integrales de funciones reales es vivir en un espacio posible. Claro, después tú dices: todos esos monstruos exóticos los meto Debajo de la alfombra y me olvido de ellos. Si alguna vez me sale uno, los tiro, ¿no? Pero todo lo que es la fractalidad, todo lo que en los sistemas caóticos es un comportamiento en ciertas proyecciones veo fractales. Lo llamaban dragones, Francis, dragones…
Héctor Socas explica cómo evitar singularidades en funciones complejas, comparándolo con la resolución de integrales para superar infinitos que impiden su cálculo.
Habla: Héctor SocasSignificado #2 · Palabras #5singularidad y continuación analíticaintegrales en el plano complejopolos y resolución de integralesresiduos en funciones complejassingularidades en funciones complejasintegrales de función complejaresolver integrales evitando infinitoshéctór socas explica funciones…cierto, invito a los oyentes a usarlo porque, bueno, la verdad que funciona maravillosamente bien. Y bueno, para terminar, no sé, rápidamente podemos… plantea una, Tomás Vila, que no sé si… que a mí me suena a análisis complejo, a matemáticas, pero no sé si… Dice, ¿qué opinan sobre la idea de que la única manera de evitar una singularidad sea la de envolverla en un círculo imaginario a través de la continuación analítica? Yo creo que esto es como cuando resolvías integrales en el plano complejo donde hay polos y evitas el polo, pero no creo que se refiera a singularidades de agujeros negros. No, no son singularidades en funciones que tengan algún polo simple en algún lado; no tenemos los residuos. Sí, creo que se debe referir a eso. pero es una manera de evitar singularidades que al final son infinitos que te aparecen y que te impiden por ejemplo hacer una integral de una determinada función compleja y es una forma de resolverla simplemente y bueno yo creo que con esto lo vamos a dejar porque sí, ya tenemos ya tres horas de programa, pues nada, que genial, muchas gracias Ignacio, Gastón, Francis, también a José y a Luisa y a Juan Carlos, ha sido un placer y gracias a todos los oyentes y por dejarnos sus preguntas, nos vemos la semana que viene si ustedes no tienen nada mejor que hacer, hasta…