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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoFrancis VillatoroJuan Carlos GilJosé EdelsteinHéctor SocasGastón Giribetvariable compleja z en métodos matemáticosoperaciones sin productos reales complejosderivada como producto implicito edelsteinderivada de números complejosintegral de números complejosestructura cuerpo números complejosclase de josé edelsteinnúmeros reales sombra de números complejosecuación algebraica con números complejosJosé EdelsteinRiemannintegral de CauchyFrancis VillatoroCauchyNewtonSiglo XVIIIAnálisis realAnálisis complejoGirolamo Cardanosiglo XVIHéctor Socasecuación de Schrödingersiglo XVIImatrices 2x2Gastón GiribetNatureSchrödingerBrassKetzmétodos matemáticos 1Roger PenroseThe Road to Reality
Derivada de Números complejos
Con
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José Edelstein explica que las derivadas e integrales de números complejos tienen propiedades más fuertes que las de los números reales, destacando la estructura superior de los números complejos como cuerpo.
…en ese producto. De hecho, cuando empezamos a avanzar en la asignatura, les voy mostrando que todo lo que vamos haciendo, que no involucra productos, es igual que en variable real, directamente igual. De hecho lo despacho diciendo: ahora vamos a definir, no sé, límite y continuidad, pues nada, dura dos minutos esa parte, pues les digo, agarren los apuntes de métodos 1, métodos matemáticos 1, y donde dice X pongan Z, que es el nombre que les los tenemos ahora la variable compleja y ya está, es todo igual. Pero cuando hay productos, todo cambia. Y hay productos, tanto en la derivada, los que sepan la definición de derivada, hay un producto, un cociente que es lo mismo que un producto implicado, y en la Integral, que hay un producto mucho más manifiesto todavía. Por lo tanto, la derivada de números complejos y la integral de números complejos tienen propiedades muy diferentes y mucho más fuertes. Los números complejos tienen una estructura como cuerpo mucho más noble, por así decirlo, que los números reales; cuando uno lo aprende, y yo digo esto en clase, si uno tiene una mentalidad un poco matemática en la cual sospecha que el universo se va a aprovechar de Aquellas cosas que son elegantes y robustas uno no tiene ninguna, yo diría; acá puede ser que, no sé si, creo que ni Gastón ni Francis se van a oponer a esto, pero que la matemática está, la realidad está escrita en números complejos, o sea los números reales son una sombra de números complejos, como los números naturales son una sombra de números reales, pero los números complejos son, no solo permiten resolver cualquier ecuación algebraica como bien decías, sino que además son la forma en la cual se escribe naturalmente todo prácticamente. Dicho esto y perdón que me alargo, pero es que como me voy a ir, digo. Todo bien. Alárgate todo lo que quieras. Largo todo mi rollo. Dicho esto, uno siempre puede deshacer todo y duplicando las dimensiones, sí es cierto. Pero es cierto que a medida que uno va avanzando en el tipo de operaciones que uno va realizando, cada vez es…
Significado #1 · Palabras #1
Héctor Socas introduce el tema de los números complejos y su origen histórico en matemáticas.
Habla: Héctor SocasSignificado #10números complejos en matemáticas siglo xviiecuaciones algebraicas polinomios siglo xviiisolución a ecuaciones algebraicas…que haga una pequeña introducción para los oyentes antes de que me imagino que ustedes vayan a llevar el nivel a un nivel que a lo mejor ni yo lo pueda seguir, pero por lo menos por introducir cuál es el problema del que vamos a hablar; resulta que hay una... Bueno, vamos a empezar por los números complejos, ¿no? Saben que los números complejos se introducen en matemáticas porque creo que es en el siglo XVII, de hecho, o XVIII por ahí históricamente, como una forma de resolver o de dar solución a las ecuaciones algebraicas, que resulta que muchas de ellas, ecuaciones algebraicas son las que son con polinomios. Tiene un polinomio igual a cero, con sus coeficientes; polinomio de x elevado a una cierta potencia con un coeficiente, tal, tal, tal, igualado a cero. De forma general, un polinomio igual a cero, eso es una ecuación algebraica. Pues resulta que aunque todos…
Héctor Socas explica cómo los números complejos son una extensión más general de los números reales, permitiendo resolver ecuaciones algebraicas que no tienen solución en el dominio real.
Habla: Héctor SocasSignificado #7 · Palabras #9números complejos extensión números realesecuaciones algebraicas con números complejosdominio de números complejosnúmeros complejos para ecuaciones algebraicasraíz cuadrada de menos 1…tú estás pensando en el dominio de los reales, hay ecuaciones algebraicas muy sencillas que no tienen una solución real; típicamente pues x cuadrado más 1 igual a cero, x cuadrado igual a menos 1. No existe ningún número real que satisfaga esa ecuación, ¿no? Entonces, se introducen los números complejos como una no una extensión, como algo más general que los números reales, que sí que, dentro del dominio de los números complejos, cualquier ecuación algebraica en la que se usen números complejos para los coeficientes y se considera el dominio de los números complejos, tiene. una solución que está dentro de los números complejos. Entonces nos quedamos más satisfechos porque el resultado se queda ahí dentro. ¿Y qué son los números complejos? Pues decía yo, la ecuación está x cuadrado igual a menos 1, sabemos que el menos 1 no tiene una raíz cuadrada, no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de menos 1, no hay ningún número real que cumpla eso. entonces uno puede decir, bueno, imaginemos que hay un número que no es real, lo llamamos imaginario, por lo que sea, pues un número imaginario tal que al multiplicarlo por sí mismo de menos uno ese número no está entre los reales pero vamos a suponer que…
Héctor Socas reflexiona sobre la utilidad de los números complejos en matemáticas y cómo José Edelstein se prepara para enseñarlos a sus estudiantes.
Habla: Héctor SocasSignificado #6números complejos parte realnúmeros reales multiplicados unidad imaginariapropiedades de números complejos multiplicaciónnúmeros complejos como vectoresespacio vectorial de dos dimensionesmultiplicación en números complejoshector socas explica números complejosnúmeros complejos en matemáticasjose edelstein enseña números complejosnúmeros complejos en físicacircuitos con corriente alternatransitorios en electricidadplano real resultados físicosecuación de schrödinger en realesunidad imaginaria en mecánica cuánticahamiltoniano en ecuación de schrödingerecuación de schrödinger números complejosfunción de onda ecuación de schrödingercoeficientes complejos mecánica cuánticaprobabilidades reales módulo al cuadradonúmeros complejos en mecánica cuánticasustitución de números complejos por realesespacio vectorial de dimensión dobleálgebra compleja y operaciones vectoriales…ahí tengo toda una serie de números, todo un conjunto de números que tiene la misma cardinalidad que el de los reales, pero que son números que tienen esta propiedad, de que son solución de estas raíces de números negativos y luego los números complejos. Se construyen simplemente sumando un número real con uno de estos números imaginarios. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria; hasta aquí todo bien. Se pueden sumar, se pueden restar, multiplicar; tienen todas esas propiedades y ¿qué pasa? Que un número complejo en realidad uno lo puede ver como un par de números reales. Un número complejo tiene una parte real que es un número real y una parte imaginaria que es otro número real multiplicado por la unidad imaginaria, entonces yo los puedo ver como un par de números. Como si fueran vectores de dos componentes donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria, y además funciona bien porque yo puedo sumar números complejos y se comporta igual que cuando sumo vectores; puedo incluso definir una multiplicación, puedo definir un espacio vectorial de dos dimensiones con pares de números reales, un espacio vectorial real de dimensión 2 que funcione exactamente igual que los números complejos, los que yo pueda sumar, pueda hacer multiplicaciones y se cumplan las mismas reglas. Entonces esto ha sido muy útil; hay toda una matemática de los números complejos y José, creo que además precisamente cuando nos deja en programas como el de hoy es porque se va justamente a enseñarle números complejos a sus estudiantes. Así que todo esto lo podrías estar explicando tú mejor que yo, pero entonces yo no tendría nada que decir; así que explico yo esta parte introductoria y ya está. ¿Y qué pasa? Que esto es muy útil en física; hay muchos problemas que se resuelven gracias a todos los trucos y todas las herramientas de cálculo que hemos aprendido para trabajar con los números complejos y en muchos ámbitos de la física, típicamente en electricidad, por ejemplo, para estudiar transitorios, para estudiar circuitos con corriente alterna, viene muy bien; pero al final uno termina volviendo al plano real con sus resultados después de haberse ido al mundo complejo para hacer los cálculos intermedios. Entonces son como una herramienta que permite facilitar muchos cálculos y trabajar y resolver muchos problemas. y aquí es donde entra la mecánica cuántica, resulta que las formulaciones que se hicieron de la mecánica cuántica desde el principio si pensamos en la ecuación de Schrodinger vemos que en una parte está el hamiltoniano y en otra parte está la derivada del vector de estado pero hay una i multiplicando a i, esa i es la unidad imaginaria. La ecuación de Schrodinger ya tiene una mezcla de números reales y complejos. La función de onda de la ecuación de Schrodinger es una función compleja. Las formulaciones de la mecánica cuántica, tanto la de la matricial como la de Brass y Ketz funcionan con coeficientes complejos O sea, está como, todas las formulaciones que se hicieron de la mecánica cuántica originalmente se hacían con números complejos Aunque luego al final, todos los resultados que se obtienen cuando tú calculas una probabilidad de medida son probabilidades, son reales porque al final es el módulo al cuadrado de los coeficientes y eso es un número real. Entonces al final tú te quedas con números reales pero todo el cálculo subyacente es con complejos. Entonces, está un poco la duda, existió de ahí siempre sobre si el uso de números complejos es algo fundamental en la mecánica cuántica o es simplemente algo que nos facilita el cálculo; porque uno puede, como yo decía antes, un número complejo lo puede sustituir por un par de números reales, puede considerarlo como un vector y de hecho todas estas formulaciones se pueden hacer si uno sustituye esa álgebra compleja por operaciones en un espacio vectorial de dimensión el doble de la dimensión del original, con números reales. Entonces, bueno, parecía que como que no era muy fundamental, sino más bien lo de la facilidad de cálculo. Pero ese debate siempre había estado un poco como ahí de fondo, ¿no? Porque además esto se presta mucho a la mística esta de la mecánica cuántica, ¿no?…
José Edelstein explica cómo el aprendizaje inicial de cálculo requiere la existencia de un cuerpo algebraico, como los números complejos, para poder desarrollar análisis y funciones.
Habla: José EdelsteinSignificado #2 · Palabras #4girolamo cardano siglo xvinúmero complejo elevado al cuadradocuerpo de números complejosfunciones derivadas integrales ciencianúmeros complejos para análisisfunciones en variable complejaderivadas integrales con números complejoscálculo requiere cuerpo algebraicomultiplicación números complejos puntoplano número complejo vector…yo arranco comentando, como tú lo dijiste, que la ecuación X cuadrado más 1 igual a 0 es una ecuación insultantemente simple y entonces el hecho de que no tenga solución nos enfrenta a dos posibilidades, o resignarnos y decir, pues, ¿qué le vamos a hacer? La vida es así de cruel, o lo que hizo Girolamo Cardano en el siglo XVI, que fue decir: pues, venga, si no la hay, la pongo yo, la creo yo. Y es un número que se llama i, que elevado al cuadrado a menos uno y luego cuando uno empieza con ese número a preguntarse ¿puedo multiplicar ese número por un número real? ¿Puedo sumarlo a un número real? Y uno empieza a jugar algebraicamente con eso, se da cuenta de que los números complejos estructuran algo que se llama cuerpo, que tiene una serie de propiedades: suma, multiplicación, inverso, elemento neutro, bueno, exactamente igual que los números reales y por lo tanto cuando uno aprende funciones derivadas integrales, todo lo que uno aprende en una carrera científica o técnica. Si uno va a la primera clase o segunda clase de esas materias, de la materia en la cual uno aprende a derivar, a integrar, etcétera, análisis, uno ve que lo que necesita para poder desarrollar un análisis es un cuerpo, por lo tanto automáticamente quedas sobre la mesa; tienes un nuevo cuerpo de los números complejos y con él puedes empezar a hacer funciones en variable compleja, derivadas, integrales, etcétera, etcétera. Si bien es cierto lo que tú dijiste, que uno puede prescindir de los números complejos, déjame hacer un comentario que creo que es importante. La multiplicación de los números complejos, cuando uno lo piensa el número complejo como un punto del plano o como el extremo de la flechita de un vector, eso vale para la suma, no hay que agregar ningún comentario, los números complejos se suman como si fueran vectores. en el plano, pero no para la multiplicación, porque de Hecho, la única multiplicación de vectores que da un vector es la multiplicación vectorial, así se llama, y algunos de los oyentes que han hecho alguna carrera científica saben que el producto de dos vectores da un tercer vector perpendicular a los dos…
José Edelstein explica cómo la regla de 'i cuadrado igual a menos 1' permite realizar un producto vectorial peculiar al multiplicar números complejos.
Habla: José EdelsteinSignificado #9números complejos con regla i cuadradoproducto vectorial de números complejosregla de i cuadrado menos 1multiplicación distributiva números complejos…el producto de dos vectores da un tercer vector perpendicular a los dos anteriores y por lo tanto en el plano no puedo definir un producto vectorial. Entonces, el producto de los números complejos es un producto que lo único que hace es Se puede definir otro. producto vectorial diferente Bueno, exactamente, pero ese producto vectorial diferente en realidad es el producto que sale sencillamente de decir i cuadrado igual a menos 1 Con solo esa regla, y ahora tú agarras un número que es a más b por i, o sea 3 más 5i multiplicado por 2 menos 4i distributiva y solo i cuadrado igual a menos uno, te realiza ese producto rarísimo vectorial. Yo cuando doy el curso, y voy cerrando esta parte introductoria, presento los números complejos sin hablar de i, hablando justamente de vectores en el plano y mostrando el producto. Les muestro que el producto que se define es rarísimo, tiene un signo menos,…
José Edelstein explica que las derivadas e integrales de números complejos tienen propiedades más fuertes que las de los números reales, destacando la estructura superior de los números complejos como cuerpo.
Habla: José EdelsteinSignificado #1 · Palabras #1variable compleja z en métodos matemáticosoperaciones sin productos reales complejosderivada como producto implicito edelsteinderivada de números complejosintegral de números complejosestructura cuerpo números complejosclase de josé edelsteinnúmeros reales sombra de números complejosecuación algebraica con números complejos…en ese producto. De hecho, cuando empezamos a avanzar en la asignatura, les voy mostrando que todo lo que vamos haciendo, que no involucra productos, es igual que en variable real, directamente igual. De hecho lo despacho diciendo: ahora vamos a definir, no sé, límite y continuidad, pues nada, dura dos minutos esa parte, pues les digo, agarren los apuntes de métodos 1, métodos matemáticos 1, y donde dice X pongan Z, que es el nombre que les los tenemos ahora la variable compleja y ya está, es todo igual. Pero cuando hay productos, todo cambia. Y hay productos, tanto en la derivada, los que sepan la definición de derivada, hay un producto, un cociente que es lo mismo que un producto implicado, y en la Integral, que hay un producto mucho más manifiesto todavía. Por lo tanto, la derivada de números complejos y la integral de números complejos tienen propiedades muy diferentes y mucho más fuertes. Los números complejos tienen una estructura como cuerpo mucho más noble, por así decirlo, que los números reales; cuando uno lo aprende, y yo digo esto en clase, si uno tiene una mentalidad un poco matemática en la cual sospecha que el universo se va a aprovechar de Aquellas cosas que son elegantes y robustas uno no tiene ninguna, yo diría; acá puede ser que, no sé si, creo que ni Gastón ni Francis se van a oponer a esto, pero que la matemática está, la realidad está escrita en números complejos, o sea los números reales son una sombra de números complejos, como los números naturales son una sombra de números reales, pero los números complejos son, no solo permiten resolver cualquier ecuación algebraica como bien decías, sino que además son la forma en la cual se escribe naturalmente todo prácticamente. Dicho esto y perdón que me alargo, pero es que como me voy a ir, digo. Todo bien. Alárgate todo lo que quieras. Largo todo mi rollo. Dicho esto, uno siempre puede deshacer todo y duplicando las dimensiones, sí es cierto. Pero es cierto que a medida que uno va avanzando en el tipo de operaciones que uno va realizando, cada vez es…
Gastón Giribet aclara que el uso de matrices para representar números complejos es una forma alternativa de escritura, y que aunque se les llame diferente, siguen siendo equivalentes a los números complejos tradicionales.
Habla: Gastón GiribetSignificado #12números complejos representados con matricesmatrices al cuadrado dan menos uno…que multiplicar la i, es lo que decía José antes, cuando dijo las matrices 2x2. Entonces, no estoy usando un número complejo, mentira maestro, estás usando una estructura algebraica isomorfa y el número complejo es esa entidad algebraica subyacente, no la. Forma en la que a vos se te ocurre escribirla. Entonces estás usando números complejos solamente que he escrito con matrices porque esto es un retardado, pero es la i de toda la vida, no la llamaste i, la llamaste matriz, pero al cuadrado te da menos uno, entonces ¿qué ven i con? Entonces hay muchos trabajos que son eso, no; lo que pasa es que son reales pero en un espacio en el cual existe un proyector que al cuadrado que lo traigo de afuera. Bueno, claro, si empezás a poner demasiada estructura de afuera, sí, podés hacer casi…
Gastón Giribet explica cómo se utilizan los números complejos en la mecánica cuántica para obtener resultados reales, destacando su importancia más allá de ser simplemente una herramienta conveniente.
Habla: Gastón GiribetSignificado #14 · Palabras #20números complejos en mecánica cuánticafunción de onda compleja integradaresultados reales desde números complejoscomodidad física de números complejos…intermedios para llegar a él no hayan demandado, no solamente podido ser posible, sino exigido el cálculo a través de números que son complejos; porque en mecánica cuántica, cuando uno calcula la probabilidad, que repito, siempre va a ser un número real y Positivo, primero eleva al cuadrado una función de onda que es complejo y la integra en todo el espacio. Entonces, necesitó el número complejo para producir ese número real. ¿Y por qué es importante esto? Porque los números complejos hasta la mecánica cuántica habían sido para los físicos solamente una comodidad, lo que es una incomodidad para el estudiante, pero para el físico es una comodidad, por ejemplo cuando uno resuelve circuitos eléctricos. Muchas veces para no andar trabajando con senos y cosenos que son molestos, uno escribe la corriente como si fuera un número complejo. Obviamente, la corriente no es un número complejo; son un montón de electrones pasando por un cable, pero la escribe como…
Gastón Giribet explica que los números complejos son fundamentales en diversos campos de la física, desde la óptica hasta la electricidad, y que su uso va más allá de una simple comodidad de cálculo, siendo incluso una exigencia del formalismo en mecánica cuántica.
Habla: Gastón GiribetSignificado #20números complejos en físicaformalismo en mecánica cuánticaresonancia sistema simple mecánica…la difracción o la interferencia, con exponenciales complejas. Es mucho más cómodo porque usar cosenos y senos hay que acordarse que el seno de A más B es igual al coseno. Puede hacerlo pero es mucho más fácil. A último momento uno toma la parte real de todo. Entonces, en la física los números complejos son ubicuos, o sea, están en la óptica, en la electricidad, en un montón de cosas. Ahora, es más cuando calcula resonancia el sistema simple de mecánica, pero al final del día uno siempre entendía que era una comodidad de cálculo. Ahora, mecánica cuántica es más que una comodidad de cálculo, es una exigencia del formalismo. Bueno, eso es lo que se pone en tela de juicio. Al menos la pregunta. Es natural, porque es la primera vez que necesito y no me siento cómodo con esta estructura. Bueno, todo parece indicar que los números complejos son, en ese sentido, necesarios. Cuando se discute en esto, me recuerdo un artículo de Cuanta del 2023 que hacía…
Francis Villatoro continúa explicando el contenido del libro 'The Road to Reality' de Penrose, destacando dos ideas principales: primero, que los números complejos describen la naturaleza y segundo, que existen entidades aún más perfectas como los twistores.
Habla: Francis VillatoroPalabras #18números complejos describen la naturalezatwistores como entidades perfectaslibro the road to reality penrosedescubrimiento números complejos lenguaje naturaleza…Influido por Penrose, Penrose tiene un libro que se llama The Road to Reality, El Camino de la Realidad y es un libro gordo de petete, tiene como mil páginas o más de mil páginas, mil y cien páginas y ese libro lo único que dice, bueno, dice dos cosas. la primera cosa es los números complejos Describen la naturaleza, entonces el libro lo que trata es de explicar o de justificar por qué Penrose cree que sin números complejos no se puede entender la naturaleza, y la segunda consecuencia del libro es, pero los números complejos casi son lo perfecto, los súper perfectos son los twistores, y entonces el libro acaba diciendo, los twistores son súper maravillosos, pero si usted lees solamente 800 páginas del libro, pues concluye que los números complejos describen perfectamente la naturaleza, y que haber descubierto los números complejos nos ha permitido descubrir un lenguaje que describe de manera casi perfecta la naturaleza. Esa es la butá de Penrose, esa idea de la escritura de ese libro, que está muy bien que he escrito; yo lo recomiendo, se lee muy bien, está lleno de fórmulas, pero es un libro de divulgación. Así que esas son un poco las circunstancias; podemos construir una…
Francis Villatoro explica que la comprensión de la utilidad de los números complejos para describir la naturaleza proviene de trabajos posteriores a Cauchy, como los realizados por Riemann sobre integración y derivación en el contexto del análisis complejo.
Habla: Francis VillatoroSignificado #5 · Palabras #2trabajos post-cochí sobre integraciónriemann e integración complejaanálisis complejo curso de josé edelsteinintegral de cauchy y números complejosderivadas infinitas funciones complejasdiscontinuidad en funciones realesecuación diferencial variable complejafunciones reales con derivadas limitadasderivadas de funciones según villatoroanálisis real newton siglo xviiianálisis complejo siglo xx…para mi journey. Me dan ganas de hacer una ilustración como la de esa de Flammarion, que se ve el hombre metiendo la cabeza para ver lo que hay detrás del cortinaje de estrellas, ¿no? Pues algo así y ve un montón de números complejos detrás. ¡Qué bonito! Pero en cierto sentido, bueno, la manera de entender realmente por qué los números complejos son ventajosos para la descripción de la naturaleza, pues viene de los trabajos post-cochí, ¿no? de todo el trabajo, por ejemplo, de Riemann, de entender lo que es la integración y la derivación en el contexto de lo que ahora llamamos análisis complejo, que es básicamente lo que está contando José en su curso, porque lo que cuenta al principio de jugar con numeritos seguramente los alumnos ya lo saben, pero bueno, tiene que estudiar todo lo que es la integral de Cauchy, cómo se calculan integrales utilizando números complejos y la gran ventaja de las funciones en el análisis, estudia las funciones, Las funciones Complejas tienen la gran ventaja de que si una función tiene derivada, automáticamente tiene infinitas derivadas. O sea, en funciones reales, eso no es verdad. En funciones reales, una función puede tener tres derivadas, pero no tener la cuarta. La cuarta es ser discontinua. Con discontinuidad es evitable, finita, o incluso con discontinuidad es infinita, con saltos a infinito. Pero sin embargo en variable compleja no; en variable compleja si una función tiene derivada, es una función súper maravillosa, tiene infinitas derivadas, eso te, si tú planteas una ecuación diferencial, es una ecuación que tiene derivadas y que la solución es una función que cumpla con esa ecuación, en variable compleja de manera natural vas a tener una función con la que puedes jugar todo lo que te dé la gana. Pero en variable real no; en variable real Tienes que estar constantemente diciendo: espera un segundo, a ver, ¿esto realmente tiene derivada o no tiene derivada? ¿Hasta cuál derivada tiene? ¿Dónde están los problemas donde no tiene derivada? Es decir, el análisis real, el análisis con números reales, que para Newton y el siglo XVIII era la única opción, pero en el siglo XX descubrimos que el análisis Real es extremadamente complicado y que tiene una enorme cantidad de monstruos, de funciones súper raras. Hay funciones que son continuas, pero no son derivables en ningún punto. Hay funciones que tienen unos límites extrañísimos, unas integrales…
Gastón Giribet continúa la conversación sobre materias atractivas para estudiantes, mencionando el cálculo complejo y sus características.
Habla: Gastón GiribetSignificado #15cálculo complejo característicasnúmeros complejos materiafunciones salomorfas integracióngeometría algebraica variedades polinomios…Cualquiera que haya sido expuesto a esa teoría tiene que decir: no, para esto es una, cualquier otra carrera, otra materia física que uno ponga en pie de igualdad es que lo que falla es tu criterio estético. No entendiste algo; y la otra es cálculo complejo. Cálculo complejo es una materia de números complejos, ¿no? Esto que dice Francis, ¿no? Cómo integrar, la teoría de funciones salomorfas, las extensiones analíticas, la integrar en el plano complejo, o también sus propiedades algebraicas, ¿no? Como cuerpo algebraico cerrado. Todo eso y lo que viene después, geometría algebraica, entendida esta como el estudio geométrico de aquellas variedades que son definidas como cero de polinomios. Todo eso es tan hermoso que me cuesta creer que rivalice con... Mira que la física tiene un montón de rincones hermosos y la matemática debe tener otros tantos que desconozco. Pero me cuesta creer que algo rivalice con esas dos materias. Bueno, perdón por este... Yo diría teoría de grupos, pero será porque no sé…