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Luisa AchaerandioIgnacio CrespoBorja TosarFrancis VillatoroHéctor SocasGastón Giribetproblema erdős geometría combinatoriaerdős reintrodujo problema sencillodoctorado geometría combinatoria demuestra problematécnicas nuevas problemas geometría combinatoriaartículos publicados problema erdősErdősFrancis VillatoroErnestGeometría CombinatoriaÁlgebra de CuerposÁlgebraConjeturaOpenAIGPT 5.6 ProScott AronsonTriángulosCuadradosKeplerTriángulo equiláteroRaíz cuadrada de dosRombo
Geometría combinatoria
Con
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Francis Villatoro explica cómo Erdős reintrodujo repetidamente un problema aparentemente sencillo, que ahora se considera un desafío importante dentro del campo de la geometría combinatoria.
…que es un ejemplo muy bueno. Muy bueno porque el exponente es uno más, repito, del orden de el uno partido del logaritmo del logaritmo de n. Y entonces conjetura que es uno más, pues algo muy pequeño, algo despreciable, algo que es prácticamente uno, ¿vale? N elevado a uno. Entonces, ¿qué pasó con este problema al que varias veces ha reentrado Erdős en su carrera? Y es que este problema, que parece muy sencillo de describir, se ha ido convirtiendo en un problema rodeado de un cierto aura de que en este campo de investigación en el que se enmarca, que es la geometría combinatoria, se ha convertido como el gran problema de la geometría combinatoria. Es decir, prácticamente todo el mundo que hace un doctorado en geometría combinatoria trata de demostrar este problema; desarrolla nuevas técnicas, nuevas cosas, nuevas maneras de ver este tipo de problemas, y se lo voy a probar con este problema de ERDIS. Entonces es un problema bastante trabajado en el que hay bastantes artículos que se han publicado durante mucho tiempo, y lo que ha permeado el campo. Es que ese ejemplo que nos pone Erdős en 1946 es prácticamente el mejor ejemplo conocido. Se ha tratado en varios artículos de modificar, de perturbar esa distribución de puntos, pero no se ha logrado mejorar ese orden asintótico de 1 partido logaritmo de…
Significado #1 · Palabras #1
Francis Villatoro continúa explicando el problema de Erdős sobre la distancia unitaria, detallando cómo se forman patrones geométricos con diferentes configuraciones de puntos.
Habla: Francis VillatoroSignificado #14problema erdős distancia unitariatriángulo equilátero tres distanciasrombo lados distancia uno diagonalproblema de erdős distancia unitariatriángulos equiláteros distancias unitariasconfiguraciones puntos triángulo equiláteromáximo seis distancias cinco puntos…1 que pueda haber en n puntos. El caso más sencillo. Francis, una pregunta, porque yo no he leído sobre esto, te estoy escuchando ahora la explicación; este es un problema discreto, supongo que eso se refiere a cuando n se hace muy grande. Claro, el problema Ahora lo veremos, ahora veremos el enunciado. Todavía no he dado el enunciado del problema de Erdős; estoy explicando un poco la idea del problema. Entonces si tú tienes dos puntos, pues hay una única distancia, pues esa vale, entre dos puntos hay una única distancia. Entre tres puntos tú puedes formar un triángulo equilátero. Un triángulo equilátero te da tres distancias. Si tú tienes cuatro puntos, no te sirve un cuadrado porque un cuadrado tiene cuatro distancias unitarias pero dos distancias que son la raíz cuadrada de dos; pero tú puedes coger dos triángulos equiláteros y pegarlos y obtienes como un rombo. Ese rombo tiene la ventaja de que todos los lados, los cuatro lados, son de distancia uno y la diagonal también porque son dos triángulos equiláteros, uno pegado al lado. Para cuatro puntos, tú tienes cinco distancias unitarias. Tú te puedes plantear qué pasa con cinco puntos. Pues con cinco puntos lo que puedes es añadir un triángulo equilátero más. Si añades un triángulo equilátero más, has añadido un punto adicional; tienes cinco puntos, pero te aparecen dos lados adicionales. Para cinco puntos, lo máximo que puedes conseguir son seis. Para 6, si metes otro triangulito, puedes conseguir; a ver, yo tenía aquí los números porque si no me voy a liar. Para 5 puntos son 7, para 6 puntos son 9 y también se construye añadiendo triángulos equiláteros, pero para 7 puntos hay una mejor estructura…
Francis Villatoro explica cómo la estructura geométrica para maximizar distancias unitarias se simplifica con un aumento en el número de puntos, observando una relación entre el número de lados iguales y el número total de puntos.
Habla: Francis VillatoroSignificado #12triángulos equiláteros catorce distanciasnueve puntos dieciocho distanciasestructura geométrica maximizar distanciasreto matemático francis villatorodistancias unitarias dieciochotriángulos y cuadrados en retosestructura geométrica curiosa puntitosestructura geométrica puntos infinitosnúmero de lados puntos similaresrelación entre puntos y estructura sencillanueve puntos dieciocho casi doble…contar el número de lados, tienes los lados exteriores, seis, y los radios, los que conectan con el punto central, que son otros seis. Tienes doce distancias unitarias en esa estructura geométrica. Si tú quieres considerar, esos son siete puntos, ocho puntos. pues tienes que añadir, puedes añadir un punto fuera y construir un triángulo equilátero, con lo que tienes catorce distancias. Pero si tienes nueve puntos, tú podrías pensar que podrías añadir otro punto y tener otro segundo triángulo equilátero, pero entonces tendrías dieciséis distancias, pero se puede hacer mejor. Con nueve puntos tú puedes conseguir dieciocho distancias. Poniendo un triángulo adentro. Es un poquito más curioso y eso va a ser el reto que voy a plantearle a los oyentes interesados en los retos matemáticos: cómo colocar nueve puntos de tal manera de que sus distancias unitarias sean dieciocho. La clave es mezclar triángulos y cuadrados, pero la estructura geométrica es muy, muy curiosa; no es trivial, no es una cosa que cualquier niño en un ratito te la saque, porque los niños son muy intuitivos en la parte geométrica con puntitos, pero recomiendo que todo el mundo se esfuerce y no lo busque por internet; esto está por internet en todos lados, o sea, si lo buscáis en internet lo vais a encontrar y vais a decir: a mí no se me hubiera ocurrido, pero por lo menos forzaros un poquillo. ¿Cuántos puntos? son nueve puntos y te tienen que salir dieciocho distancias unitarias, ¿vale? O sea, un hexágono y un triángulo. Tampoco, tienes cuadrados y triángulos. Y ya no digo más que te lo voy a desvelar. Lo voy a pensar. Bueno, ya lo digo: una chorrada, pero bueno, vemos que el número va aumentando, pero lo que pasa es que va aumentando porque la estructura es sencilla. Cuando el número de puntos tiende a infinito, es muy, muy grande; este tipo de estructuras ya empiezan a relajarse y ya no es posible que con nueve puntos tenemos dieciocho, tenemos casi el doble, pero ya cuando el número de puntos es muy grande resulta que estos números caen y básicamente caen muy cerca del propio número de puntos. El número de lados que pueden ser iguales es similar al número de puntos. Entonces, en 1946 Erdős conjetura un intervalo en el que se puede encontrar esa relación. Por un lado, un valor máximo, que es el número de puntos elevado a 4 tercios, es decir, a 1 .3333333, y plantea como conjetura que eso es el límite máximo y de la mejor…
Francis Villatoro explica cómo Erdős reintrodujo repetidamente un problema aparentemente sencillo, que ahora se considera un desafío importante dentro del campo de la geometría combinatoria.
Habla: Francis VillatoroSignificado #1 · Palabras #1problema erdős geometría combinatoriaerdős reintrodujo problema sencillodoctorado geometría combinatoria demuestra problematécnicas nuevas problemas geometría combinatoriaartículos publicados problema erdős…que es un ejemplo muy bueno. Muy bueno porque el exponente es uno más, repito, del orden de el uno partido del logaritmo del logaritmo de n. Y entonces conjetura que es uno más, pues algo muy pequeño, algo despreciable, algo que es prácticamente uno, ¿vale? N elevado a uno. Entonces, ¿qué pasó con este problema al que varias veces ha reentrado Erdős en su carrera? Y es que este problema, que parece muy sencillo de describir, se ha ido convirtiendo en un problema rodeado de un cierto aura de que en este campo de investigación en el que se enmarca, que es la geometría combinatoria, se ha convertido como el gran problema de la geometría combinatoria. Es decir, prácticamente todo el mundo que hace un doctorado en geometría combinatoria trata de demostrar este problema; desarrolla nuevas técnicas, nuevas cosas, nuevas maneras de ver este tipo de problemas, y se lo voy a probar con este problema de ERDIS. Entonces es un problema bastante trabajado en el que hay bastantes artículos que se han publicado durante mucho tiempo, y lo que ha permeado el campo. Es que ese ejemplo que nos pone Erdős en 1946 es prácticamente el mejor ejemplo conocido. Se ha tratado en varios artículos de modificar, de perturbar esa distribución de puntos, pero no se ha logrado mejorar ese orden asintótico de 1 partido logaritmo de…
Francis Villatoro explica cómo se propuso mezclar la geometría combinatoria con álgebra de cuerpos para resolver el problema planteado por Erdős, una idea que ya estaba presente en el artículo original de Ernest pero no está claramente expresada.
Habla: Francis VillatoroSignificado #5 · Palabras #3geometría combinatoria álgebra de cuerposproblema planteado por erdősartículo original de ernestproducción anual de artículos ernest…su aparente sencillez de un halo de extrema complejidad; entonces eso ha hecho que este problema haya sido un problema especialmente llamativo a nivel de redes sociales y a nivel de grandes matemáticos cuando ha sido resuelto con la inteligencia artificial. Una de las ideas que se habían propuesto para este problema era una idea que es estándar, sobre todo a partir del siglo XXI; a partir del año 2000, hay trabajos muy importantes en 2010, 2012: es el tema de mezclar esta geometría combinatoria con álgebra de cuerpos. Esa idea está en el artículo original de Ernest, lo que pasa es que está un poco escondida, no está clara, no está bien expresada. Ya os digo que este tipo de artículos, Ernest producía muchos artículos; en esa época podía llegar a producir 20 artículos anuales, que en matemáticas eso es una barbaridad, es una barbaridad. Entonces, muchos estaban escritos con un estilo que hoy en día lo mismo no lo aceptaríamos en muchas revistas con ese estilo. Una de las ideas es, porque claro, aquí estamos hablando de distancia euclídea, ¿vale? O sea, la distancia euclídea básicamente es x al cuadrado más y al cuadrado, y al cuadrado, raíz cuadrado, esa es la distancia Entonces para encontrar las distancias yo…
Francis Villatoro explica cómo un problema geométrico puede formularse algebraicamente, una aproximación ya utilizada en varios artículos para intentar demostrar una conjetura.
Habla: Francis VillatoroSignificado #3 · Palabras #5problema geométrico formulación algebraicaconjetura imposible de demostrarfracaso de líneas de ataqueartículos geometría combinatoria…estrictamente algebraicas de los cuerpos para determinar una estimación de la cantidad de soluciones que yo tengo, que multiplicado por el número de puntos me dará la cantidad de posibles, el número máximo de distancias unitarias que yo tengo en mi problema. Es decir, yo puedo formular un problema puramente geométrico, de geometría combinatoria; lo puedo formular con un problema puramente algebraico y entonces esa aproximación ha sido propuesta ya en varios artículos y se han hecho cosas pero en la línea de atacar el demostrar esta conjetura que hoy ya sabemos que era imposible de demostrar, esas líneas de ataque fracasaron y tienen que fracasar. Es obvio: hoy sabemos que fracasaron y sabemos por qué tienen que fracasar; esa conjetura es falsa, pero los que lo hicieron no se dieron cuenta y focalizaron ese trabajo. Pero ese trabajo, los resultados más importantes son esos de 2011, 2012; hay dos resultados clave en esa línea. Y es ese trabajo el que ha combinado la inteligencia artificial. En cierto sentido, lo que los humanos estaban haciendo era utilizar esta…
Francis Villatoro explica cómo la inteligencia artificial ha sorprendido a los matemáticos al ofrecer una solución a un problema específico.
Habla: Francis VillatoroSignificado #6 · Palabras #4inteligencia artificial sorprende matemáticosgeometría combinatoria álgebra de cuerposproblema específico técnica inteligencia artificialartículos famosos publicados línea…que tienen ahora; cuando lo saquen, no sé, lo sacarán en un mes o tres meses o cuatro meses; harán algo mejor, pero esto es lo que en el futuro será el 5.6 Pro. Lo han aplicado a este problema, pero de hecho lo han aplicado a todos los formas de disk, ¿vale? Y en este programa en concreto la inteligencia artificial ha ofrecido una solución que ha dejado alucinados a todos los matemáticos. En lugar de utilizar el camino que los pocos matemáticos que estaban trabajando con este tipo de técnica, porque recuerdo, hay que ser experto en geometría combinatoria y hay que ser experto en álgebra de cuerpos, que eso no todo el mundo lo es, pero los que han usado estas herramientas, que hay varios artículos famosos publicados en esa línea, habían atacado el problema desde el punto de vista perturbo los puntos y fijo el cuerpo y lo que se Le ocurre de manera sorprendente a la inteligencia artificial es hacer lo contrario. Hay teoremas que me hablan de las propiedades de las descomposiciones de cuerpos de forma genérica y yo puedo perturbar los cuerpos, no considerar cuerpos cuyas unidades. Yo…
Francis Villatoro explica cómo un problema matemático ha generado una coyuntura particular donde expertos en diferentes campos están aplicando una nueva idea para resolver otros problemas.
Habla: Francis VillatoroSignificado #4 · Palabras #6problema matemático genera coyunturaexpertos aplican nueva idea problemasgeometría combinatoria teoría codificaciónidea poderosa poco explotada…ningún sentido. O el problema P igual a NP, Scott Aronson, el famoso experto en complejidades cuánticos, hablando de que ya podrán atacar P distintos de NP, pero ¿qué estás hablando? No tiene ni pies de cabeza, ¿vale? Eso no tiene ni pies de cabeza, ¿vale? O sea, este problema ha dado la coyuntura particular y muy específica de que se ha encontrado una cosa que sorprendentemente cualquiera podría haber hecho y de hecho, repito, los expertos que dominan ambos campos ahora están empezando a demostrar otras cosas con la misma idea, porque es una idea muy poderosa y hay muchos problemas de geometría combinatoria, pero también de otras áreas, por ejemplo, de teoría de la codificación, etcétera, que se pueden atacar con esta idea: una idea muy bonita, muy poderosa y que no está prácticamente nada explotada; no se sabe por qué. Pero eso pasa a veces en matemáticas. Es como cuando descubres un nuevo objeto y no te habías dado cuenta que esta enana marrón, pues no era una enana marrón, sino que era una enana amarronada. Y ahora resulta que lo dices y de repente empiezas a decirlo y…